Граничные значения весовых пространств Соболева

• Автор: Тюленев, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Весовые функции

1.2 Весовые пространства Соболева на областях

1.3 Весовые пространства Бесова на областях

2 Пространства Бесова переменной гладкости

2.1 Вспомогательные утверждения

2.2 Атомарное разложение функций из пространства

2.3 Теоремы вложения для пространств (Кп, {^,т})

2.4 Следы пространств ВрЛ>г(К”, {<*,т}) на плоскостях
3 Следы весовых пространств Соболева на плоскостях
3.1 Вложение пространства И^К", 7) в пространство
В‘р,РА^Лъ,т})
3.2 Теорема продолжения для пространства В* (М1*, {7*,т})
3.3 Теоремы о следах для пространств И^М",7), 7 € А*ос(К'*-1). .
3.4 Один результат отрицательного характера
4 Следы весовых пространств Соболева на границах некоторых
нелипшицевых областей
4.1 Вспомогательные результаты
4.2 Теоремы о следах. Случай
4.3 Теоремы о следах. Случай
4.4 Приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям
5 Дифференцируемость функций
5.1 Некоторые определения
5.2 Основные теоремы
5.3 Примеры
Список литературы

Введение
Актуальность темы
Диссертация посвящена изучению следов весовых функциональных пространств Соболева на границах как регулярных, так и нерегулярных областей, некоторым задачам теории пространств функций переменной гладкости, изучению дифференциальных свойств функций из весовых пространств Соболева вблизи границы области. Эти три задачи тесно связаны между собой.
Начнем с краткого обзора литературы относящейся к первой задаче, изучаемой в диссертации.
Задача о следах функциональных пространств типа пространств Соболева и Бесова имеет большую историю. Основополагающей здесь является работа Э. Гальярдо 1957 года [40], где было дано точное описание следов функций из невесовых пространств (П) при 1 < р < оо на границе да липшицевой области 12. Отметим, что работе Э. Гальярдо предшествовала статья [30], в которой аналогичная задача решалась для пространств (С) на области С с гладкой границей.
О. В. Бесовым в 1961 году [1] было дано точное описание следов пространств И^(Е’‘) при I € N. р € (1,оо), п > 3 на плоскости размерности <1 < п — 1 и пространен Вр?(К'1) при *■ > 0 , р, ц 6 [1, оо], п > 2 на плоскости размерности (I < п.
Для весовых пространств Соболева характеризация следов была установлена С. В. Успенским в работе [21], в которой было показано, что при р 6 (1,оо) следом пространства Соболева |х„|“), а < 1р — 1 на
гиперплоскости является пространство Бесова ВР:Р р (Еп_1). Таким образом, было обнаружено, что вес влияет на гладкость граничной функции.
В дальнейшем результаты указанных выше работ неоднократно обобщались. Обобщение происходило в нескольких направлениях.
Первое направление связано с обобщением результата С. В. Успенского на случай более общих весовых функций. Укажем работы Г. Н. Яковлева ([28]), Г. А. Калябина ([14]), Б. В. Тандита ([22]), которые внесли существенный вклад в развитие этой тематики. Отметим, что в указанных работах вес априори предполагался зависящим от координат векторов, лежащих в ортогональном дополнении к плоскости, на которой рассматривался след. Оказалось, что если вес, зависящий от координаты хп, имеет нестепенной

характер поведения вблизи нуля, то след уже невозможно охарактеризовать в терминах классических пространств Бесова. Характеризация следа была получена в терминах пространств Бесова обобщенной гладкости. Пространства обобщенной гладкости типа пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля активно изучались в работах М. Л. Гольдмана, Г. А. Калябнна, Н. G. Leopold и других.
В случае, когда вес зависит от всех пространственных координат, задача о характеризации следов весовых функциональных пространств Соболева ([29]), Бесова и Лнзоркина - Трибеля ([42]) рассматривалась лишь для модельных иесовых функций типа ,т|“ при определенных ограничениях на параметр а. Общий случай до сих пор оставался не исследованным.
Второе направление связано с обобщением классических результатов О. В. Бесова и Э. Гальярдо на случай нелипшнцевых областей. Не имея возможности перечислить всех математиков, внесших вклад в развитие этого направления, отметим лишь работы М. Ю. Васильчика, С. К. Водопьянова, В. М. Гольдштейна, В. Г. Мазьи, Ю. В. Нетрусова, С. В. Поборчего, М. И. Пупышева, П. Шварцмана, A. Jonsson, Н. Wallin. В этих работах было обнаружено, что геометрия области, на которой рассматривается то или иное функциональное пространство, существенно влияет на вид нормы в пространстве следов. Следует также отметить статью [53], в которой изучались следы весовых функциональных пространств на фрактале в случае веса, являющегося степенью расстояния до этого фрактала. Отметим, что во всех известных на данный момент работах не изучалась задача о точном описании следа весового пространства Соболева, заданного на нелнпшицевой области, на границе этой области в случае общего веса (зависящего от всех координат).
Вторая задача, исследуемая в диссертации касается изучения некоторых новых модификаций пространств Бесова переменной гладкости, введенных автором.
Пространства Бесова и Лнзоркнна-Трибеля переменной гладкости и их обобщения являются предметом интенсивного изучения в последнее двадцатилетие. Укажем лишь работы О. В. Бесова [2], [3], [4], Н. Kempka [44], [45],[46] (см. также многочисленные ссылки в этих работах). В большей части известных к настоящему времени работ эти пространства изучались прежде всего с позиции теории распределений. Были доказаны теоремы о различных эквивалентных нормировках этих пространств, теоремы вложения, теоремы об атомарном и вейвлет разложении функций из этих пространств. При некоторых ограничениях на переменную гладкость была получена характеризация пространств функций переменной гладкости через разности. Также при некоторых ограничениях на переменную гладкость были получены теоремы о следах пространств Бесова переменной гладкости на гиперплоскости [51].
Пространства функций переменной гладкости оказываются естественным образом связанными с весовыми пространствами Соболева. В случае веса из класса Макенхаунта, зависящего от всех пространственных координат,

При этом константы Сз.Сі в (2.1.2) не зависят ни от функции ір, ни от куба (2п.
Будем говорить, ЧТО многочлен Р<3 является многочленом почти наилучшего приближения полиномами степени ниже I функции ір Є на кубе С.]п с константой А > 1, если
\<р-РЬг{Оп)1<АЕ,(<р,Оп)г.
Аналогичным образом определяется понятие многочлена почти наилучшего приближения полиномами координатной степени ниже I функции у & Д|?С(КП) на кубе (5ті с константой А > 1.
Определение 2.1.1. Пусть <*3 > 0, от,а2 Є К, аі,а2 Є [1,+оо], а = (оц.аг), о = (<ть сг2). Символом обозначим множество кратных последовательностей положительных чисел {(*,„,} = ^к,т}к£Мо,тег'‘, ДЛЯ которых выполнены следующие условия:
1) существуют числа сі,С2 > 0 такие, что

<а 2(к-^а
(2.1.3)

< С2 2и~к)аг, при О <к<з,те 2"; (2.1.4)
(в случае (73=00 или а2 = оо нужно провести стандартные модификации выражений в левых частях 2.1.3 или 2.1.4 соответственно)
2) Для всех к £ N
О < <і,т < 2азік,т, при т,т Є Ъп, |т, — т,| < 1, і = 1,.., п, (2.1.5)
Замечание 2.1.1. Зафиксируем индексы і £ N и ) £ N0. Пусть кратная последовательность {іцт} Є А'“13 02. Тогда, как нетрудно показать, для к > j и т,тїї Є Ъп таких, что справедливо неравенство
С_1Аг-,т < < аКт, в котором
константа С зависит от і, п, ац, а2, а2, щ, с2, но не зависит от к,т,т. Определение 2.1.2. Пусть параметры а3, а = (ат,а2), ° — (^іДг) имеют тот же смысл, что и в определении 2.1.1. Пусть р Є (1, оо). Символом Агмт.р обозначим множество весовых последовательностей {^} := {<і(-)}^о таких, что і* : К" -> (0, +оо), Є ^рС(К") при А; Є N0 и {ік,т} Є ГДе