Краевая задача Римана на контурах неограниченной закрученности

• Автор: Данилов, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 97 c. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ'

ГЛАВА Г. Интеграл типа Коши на контурах неограниченной закрученности

§ I. Классы контуров

§ 2. Интеграл типа Коши

Глава II. Краевая задача Римана с коэффициентом, удовлетворяющим условию Гёльдера вне любой ок -рестности точек закрученности контура

§ 3. Однородная задача Римана с положительным

коэффициентом

§ 4. Неоднородная задача Римана с положительным

коэффициентом

§ 5. Задача Римана с комплекснозначным коэффициентом

Глава III. Краевая задача Римана с измеримым коэффициентом
§ 6. Краевая задача Римана и факторизация коэффициента
§ 7. Факторизация положительной функции
§ 8. Факторизация комплекснозначной функции
§ 9. Краевая задача Римана с коэффициентом, не
отделённым от нуля или бесконечности
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ЛИТЕРАТУРА
0.1. Краевая задача Римана в классической постановке, как известно, заключается в следующем.
Дан простой замкнутый гладкий контур Г , разбивающий плоскость на две области: внутреннюю Г) и внешнюю D . На контуре заданы функции Get) & сдШ , удовлетворяющие условию Гёльдера, причём GlD*0 . /0.1
Требуется найти две функции аналитические соответственно в областях D и D - непрерывные вплоть до контура Г по краевому условию
et) = Gcij^Pet) + ejet) ? I £ Г
Задача /0.1/ впервые встречается в работах Б.Римана [1857 г.], затем в работах Д.Гильберта [1905 г.] , И.Племеля [1908 г.], Т.Кар-лемана [1922 г.] как вспомогательная задача при исследовании некоторых проблем теории дифференциальных уравнений.
Б 1934 году И.И.Привалов в своём докладе на втором Всесоюзном математическом съезде поставил задачу Римана как самостоятельную граничную задачу теории аналитических функций. И.И.Привалов предполагал [22], что контур Г - простой замкнутый спрямляемый,функции Gd) иС|(£) - измеримые, причём (Gcti) £,^ct)£ L/(G)t а решения Я3 (2) и *P(2) представимы интегралом Коши через свои угловые предельные значения U) и Тс I)
При дополнительном предположении, ЧТО Get) € Ну (О ,
И.И.Привалов высказал [22] некоторые общие соображения о разрешимости поставленной задачи Римана.
0.2. Впервые полное решение задачи Римана /0.1/ в замкнутой форме было дано в 1937 году Ф.Д.Гаховым.
Было установлено [ 3], что вопросы разрешимости и количества решений полностью определяются индексом Коши функции GU) по контуру Г :
'X,= incLr&Ш [алдб<£)]г ,
где С ' 1^. обозначают приращение ОЛ(| Gci) вдоль контура Г
Для решений, исчезающих на бесконечности, результат Ф.Д.Гахо-ва может быть сформулирован в следующем виде:
число линейно независимых решений однородной задачи Римана /0.1/ и число условий разрешимости неоднородной задачи определяются по формулам:
ta = талс [о, 7б} т0 - гасьос { О, -Эб]
Дальнейшие обобщения задачи Римана в классической постановке подробно изложены в монографиях Ф.Д.Гахова "Краевые задачи" [3] и Н.И.Мусхелишвили "Сингулярные интегральные уравнения" [19].
Отметим тут же, что в 1977 году А.А.Бабаев и В.В.Салаев получили [I] этот же результат для задачи Римана в классической постановке, предполагая лишь, что контур Р спрямляемый и длина части контура Г , попавшая в круг радиуса £ , не превосходит с-£ ,
где С - константа.
0.3. В 1951 году Б.В.Хведелидзе дал полное решение задачи Римана в постановке Привалова, предполагая дополнительно [зз], что Г - ЛЯПуНОВСКИЙ КОНТУР, Gci) £ Ну*. (Г) ,cjU)eLp(PJ ,
-/срсоо и °Р с г) с г) имеют угловые предельные значения,
принадлежащие классу LplD
Было установлено [ 33], что и в этом случае остаётся справедливым результат Ф.Д.Гахова, сформулированный выше.
В дальнейшем в работах И.Б.Симоненко, И.И.Данилюка, В.Ю.Шеле-пова и других авторов было показано [33,7,1б] , что этот же резуль-