Свойства операторов метрического проектирования и выборок из чебышевских центров в банаховых пространствах

• Автор: Дружинин, Юрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Введение

Глава I. Существование липшицевой выборки из чебышевских центров

§1. Пространства с достижимой точкой гладкости

§2. Конечномерные пространства

§3. Пространство с0(А") и пространства типа с

§4. Метрическая проекция на подпространство констант

Глава II. Свойства оператора метрического проектирования на подпространства в Ьр

§1. Квазиортогональное множество и вспомогательные утверждения

§2. Линейность проекции на подпространства конечной размерности . 52 §3. Линейность проекции на подпространства конечной коразмерности

§4. Примеры с бесконечной размерностью и коразмерностью

§5. Липшицевость метрической проекции
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена вопросам теории приближений в нормированных пространствах, которые связаны с понятиями оператора метрического проектирования и чебышевского центра множества. В ней исследуются условия существования липшицевой выборки из оператора Тс, сопоставляющего ограниченному множеству множество его чебышевских центров, исследуются условия линейности и липшицевости оператора метрического проектирования на подпространство.
Геометрическая теория приближений берет свое начало в классической работе П.Л.Чебышева [21] (1859), в которой, в частности, доказана чебыше-вость множества Рп алгебраических многочленов степени не выше п и множества Птп рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С [а, Ь] действительнозначных функций, непрерывных на отрезке [а, Ь]. В этой же работе П.Л.Чебышев описал оператор метрического проектирования на множества Рп и Ятп (теорема об альтернансе). В дальнейшем геометрические вопросы теории приближений в пространстве С изучались А.Хааром (1918), А.Н.Колмогоровым (1948), Е.Я.Ремезом (1953). Окончательное становление геометрической теории приближений как самостоятельной ветви теории приближений произошло в 60-е годы прошлого века благодаря работам, в первую очередь, В. Кли, Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина, а затем В.И. Бердышева, Л.П. Власова, А.Л. Гаркави,
Е.В. Ошмана, С.Я. Хавинсона, Е. Асплунда, А. Брауна, А. Брендстеда, Д. Вульберта, Ф. Дойча, И. Зингера, Б. Крипке, Дж. Линденштраусса, П. Морриса, Т. Ривлина, У. Рудина, Р. Фелпса, Р. Холмса, Э. Чини, М. Эдельштейна и др. В дальнейшем исследования по геометрической теории приближений в нашей стране проводились в основном представителями научной школы С.Б.
Стечкина: А.Р. Алимовым, П.В. Альбрехтом, В.И. Андреевым, B.C. Балаган-ским, A.A. Васильевой, В.И. Ивановым, М.И. Карловым, С.В. Конягиным,
B.А. Кощеевым, Е.Д. Лившицем, A.B. Мариновым, К.С. Рютиным, Г.Ф. Устиновым, И.Г. Царьковым и др., а также М.В. Балашовым, П.А. Бородиным,
C.И. Дудовым, РЕ. Ивановым, Е.М. Семеновым, В.П. Фонфом и многими другими математиками.
В современном понимании геометрическая теория приближений изучает взаимосвязи между различными аппроксимативными свойствами множеств (чебышевость, единственность, существование, аппроксимативная компактность, солнечность, антипроксиминальность и т.д.) с их тополого-геометрическими свойствами (линейность, выпуклость, разного рода связность, гладкость и т.д.) при различных условиях (строгая выпуклость, равномерная выпуклость, гладкость и т.д.) на нормированное пространство.
Наиболее полно геометрическая теория приближений отражена в обзорах [11], 18], [32], [3], [15], [1], [20].
Пусть X — нормированное пространство, М — непустое подмножество X, р(х, М) := inf{||x — у\ : у £ М} — расстояние от элемента х G X до М. Множество Рм(х) = {у G М : \х — у|| = р(х, М)} называется множеством ближайших к х элементов из М, или метрической проекцией элемента х на М. Множество М называется множеством существования, если для любого х е X множество Рм(х) содержит хотя бы один элемент, и множеством единственности, если для любого х G X множество Рм{х) состоит из не более чем одного элемента. Если М является одновременно и множеством существования и множеством единственности, то есть для любого х € X в М существует ровно один элемент наилучшего приближения Рм(х), то М называется чебышевским множеством. Оператор Рм '■ х —> Рм(х) (х G X) называется оператором метрического проектирования.

Пусть /, д — ограниченные функции, 5 — неотрицательное число. Положим
г, ,, , {/(«). если |/(а)|> |д(а)|;
Ш,9№ ■= <
I д(а), иначе.
£[/,рД] '■= ■ тах{|^[/, £?] | - 5,0}
Лемма 1.8. Если /, д € В (К) и 8 ^ |||/ — д\, то
тах{ ||£[/, д; <5] —/||, ||£[/,д;5] — Доказательство. Пусть а £ К. Без ограничения общности можно считать, что ц[/,д(а) = /(а), т.е. |/(а)| ^ |д(а)|.
Рассмотрим разность |£[/,д; <5](а) — /(а)|. Если |/(а)| > 8, то
|£[/,Р;<Я(а) “/0)| = |^п/(а)(|/(а)| - 5) - 8^/(а)|/(а)|| =8. (2)
Если |/(а)| ^ 8, то
|Ш’9',8](а) - /(а)| = |/(а)| ^ 8. (3)
Рассмотрим разность |£[/, д;5](а) — д(а)|. Если /(а) = д(а), то из (2) и (3) получаем, что |£[/,д; 5](а) - д(а)| Ф 5. Пусть /(а) ф д(а), тогда 8^/(а) = 8^(/(а) -д(а)). Если |/(а)| > 5, то
|С[/,5Д'](а)-д(а)| = ^п/(а)(|/(а)|-Д-д(а)| = |/(а)-^(а)-8ёп/(а)5| = = |№) - РИ) — йёп(/(а) -р(а)М| = ||/(а) ~р(а)| - 5| ^ <5, (4)
т.к. О < |/(а) — д(а)| ^ 25. Если |/(а)| ^ 8, то
Ш’9',5}{а) - д(а) = |д(а)| ^ |/(а)| < 8. (5)