О коэффициентах Фурье-Хаара

• Автор: Галкина, Светлана Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с.

Оглавление
0. Введение
1. Оценки коэффициентов Фурье-Хаара для функций одной переменной с ограниченной вариацией на отрезке [0,1]
§1.1. Основные определения
§1.2. Свойства многочленов Хаара и их коэффициентов
Фурье-Хаара
§1.3. Точные оценки коэффициентов Фурье-Хаара и сумм, составленных из них, для функций с ограниченной вариацией
2. Точные константы в оценках рядов, составленных из степеней модулей коэффициентов Фурье-Хаара для функций одной переменной с ограниченной вариацией
§2.1. Формулы для вычисления константы су при 7 > 1
§2.2. Точное значение с7 при 7 > 2
§2.3. Нахождение точного значения су при 1 < 7 < 1,5 . .
§2.4. Оценки для константы ст при |<7<1и1,5<7<2 .
3. О коэффициентах Фурье-Хаара функций нескольких переменных с ограниченной вариацией Витали
§3.1. Основные определения и вспомогательные утверждения
§3.2. Точные константы в оценках сумм модулей коэффициентов Фурье-Хаара для функций с ограниченной вариацией Витали
§3.3. Другой способ получения точных констант в оценках для коэффициентов Фурье-Хаара функций двух переменных с ограниченной вариацией Витали
Литература

0. Введение
В последнее время интерес к системе Хаара значительно возрос. Она находит применение в различных разделах математики и ее приложениях (вычислительная математика, теория кодирования, теория вероятностей, цифровая обработка сигналов, распознавание образов и другие).
Впервые ортонормированная на отрезке [0,1] система функций {Хп(^)}^=1 была построена Хааром в его диссертации [1] в 1909 году (см. также [2] — [4]). Хаар установил, что для любой непрерывной функции ряд Фурье по этой системе к ней сходится равномерно. Он также показал, что ряд Фурье по системе {Хп(^)}^Ц от любой интегрируемой функции сходится к ней почти всюду. Это была первая известная система, обладающая такими свойствами.
Позднее в 1928 году Шаудер в [5] доказал, что система Хаара является базисом в пространстве 17(0,1) при всех р > 1, а Марцинкевич в 1937 году (см. [17]) установил, что она будет безусловным базисом в пространстве £7(0,1) при р > 1. Другое, более краткое, доказательство теоремы Марцинкевича дал В. Ф. Гапошкин в 1974 году в работе [18].
Систематическое изучение системы Хаара в СССР было начато П. Л. Ульяновым. Приведем некоторые доказанные им теоремы.
В 1961 году получен первый результат о безусловной сходимости почти всюду рядов Фурье: в работе [8] П. Л. Ульянов доказал, что система Хаара не является системой безусловной сходимости. В работах [9] и [10] (1961 г. и 1963 г. соответственно) установлено, что для того, чтобы возрастающая последовательность си(п) являлась множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по системе Хаара, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

^2 < сх). В [10] также получены необходимые и достаточные
условия безусловной сходимости почти всюду для рядов Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами.

В работе [13] (1964 г.) доказано, что ряд атуто(£) с монотонны-

ми коэффициентами сходится почти всюду на множестве положительной меры тогда и только тогда, когда {ат} С Ь, и при этом он будет рядом Фурье некоторой функции / е £7(0,1), 1 < р < оо. Теоремы единственности для рядов с монотонными коэффициентами установлены в [14] (1983 г.). Результаты о коэффициентах Фурье-Хаара от

суперпозиции функций, принципиально отличные от результатов для тригонометрической системы, содержатся в работах [15], [16] (1983 г. и 1985 г. соответственно).
Эти исследования П. Л. Ульянова были продолжены многими отечественными и зарубежными математиками, в числе которых
A. М. Олевский, А. А. Талаяян, Б. И. Голубов, С. В. Бочкарев,
B. А. Скворцов, Ф. Г. Арутюнян, Г. Алексин, К. Тандори, Ф. Мориц, Л. Лейндлер, А. Гарсиа, Р. Ганди, Е. М. Никишин, В. Ф. Гапошкин, Б. С. Кашин, В. М. Бугадзе, В. Г. Кротов, В. И. Прохоренко, Н. П. Хо-рошко и другие.
Настоящая работа посвящена оценкам коэффициентов Фурье-Хаара от функций с ограниченной вариацией и сумм, составленных из этих коэффициентов. Поведение рядов Фурье-Хаара и коэффициентов Фурье-Хаара от функций с ограниченной вариацией подробно исследовано в работе [12] П. Л. Ульянова (1963 г.).
Известно (см. монографию [6], стр. 132, 121), что тригонометрический ряд Фурье непрерывной 27г-периодической функции может оказаться расходящимся в некоторых точках, но для 27г-периодической функции, имеющей ограниченную вариацию на отрезке [0, 2 я], ее тригонометрический ряд Фурье сходится всюду. Для рядов Фурье по системе Хаара в этих случаях картина прямо противоположна. Ряды Фурье по системе Хаара от непрерывных функций всюду сходятся, тогда как от функций с ограниченной вариацией они могут оказаться расходящимися. П. Л. Ульянов показан ([12], теорема 2, стр. 368), что существует такая функция, имеющая ограниченную вариацию на отрезке [0,1], что ее ряд Фурье-Хаара расходится на всюду плотном на [0,1] множестве.
Кроме того, в работе [12] (теорема 1, пункт 5)) установлены оценки для коэффициентов Фурье-Хаара {ага(/)}^>_1 от функций / с ограниченной вариацией на отрезке [0,1] через полную вариацию функции:

Переходя к пределу при N —» оо, с учетом леммы 1.12, имеем
V' I I ш ^ 2 ^ т/1 е
2^ 1М/)1 < —з—у0 /.

Пусть теперь / — любая функция с ограниченной вариацией. Разложим ее в разность двух неубывающих функций следующим образом:
/ = /,-/2. ГДе /,<«) = 1(Щ + /(«)) II /2(() = 1(Щ-/(<))■
(1.21)
Заметим, что функция = Д + /2 = РД / не убывает, а значит
= Д1) - »=(0) = Со1/- (1-22)
По замечанию 1.4 коэффициенты Фурье-Хаара неубывающих функций /х и /2 не положительны. Поэтому
1М/)1 = 1МЛ) - М/г)! < 1МЛ) + М/2)| = 1М^)1- (1-23)
Отсюда, учитывая (1.22) и то, что для неубывающей функции (р требуемая оценка доказана, имеем
£ 1М/)| ^ £ 1Мф)1 < ~з~ ' У0 (ф) = 2 +-/~ ■ Уо
т—2 т=
Таким образом, неравенство (1.20) справедливо для всех функций с ограниченной вариацией. Пункт а) теоремы доказан.
Докажем пункт б). Пусть
, , , _ Г 1 при 0 < £ < 1/3; М ) ~ 0 при 1/3 < * <

Подсчитаем ^ |ат(/о)|- Разобьем всю сумму на пачки

оо оо

Х^1М/<01 =]£Х)|02‘-н(/о)|-
т—2 &=0 г=
Для каждого к — 0,1,... в &-ой пачке только один коэффициент а2к+-г0(/о) отличен ОТ НуЛЯ, ГДе *0 Определяется уСЛОВИвМ | £ [^^Г, |к]-Поэтому

^2 |в2*+.-(/о)1 = 1а2*+*о(Л)1 = [ /о(*)Х2Ч<а (*)*> (1‘24)
«=1 *