Приведённые модули и теоремы искажения в теории однолистных функций

• Автор: Ковалёв, Леонид Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 106 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
§1.1. Основные обозначения
§1.2. Определения и известные факты
§1.3. Квадратичные дифференциалы и задачи об экстремальном
разбиении '
§1.4. Разделяющее преобразование конденсаторов и областей
Глава 2. Приведённые модули
§2.1. Вспомогательные результаты
§2.2. Основная асимптотическая формула
§2.3. Монотонность приведённого модуля
§2.4. Изменение приведённого модуля при мероморфном отображении
Глава 3. Неравенства для внутренних радиусов
§3.1. Теоремы об экстремальном разбиении
§3.2. Задача Г. П. Бахтиной
§3.3. Задача Е.Г. Емельянова
§3.4. Дифференциальные свойства внутреннего радиуса
Глава 4. Теоремы искажения
§4.1. Оценки производной обратной функции
§4.2. Теоремы искажения и монотонность функции Грина
§4.3. Обобщённые теоремы искажения
§4.4. Приложения к рациональным функциям
Литература
Введение
Одним из центральных вопросов теории ёмкостей конденсаторов и модулей семейств кривых или поверхностей является изучение асимптотического поведения этих величин при вырождении соответствующих объектов. Важнейшей характеристикой указанной асимптотики является приведённый модуль соответствующей конфигурации. Изучению приведённых модулей и их применению в теории функций посвящены работы Л. Альфорса, А. Бёйрлинга, Дж.А. Дженкинса, И.П. Миткжа, Г.В. Кузьминой, А.Ю. Солы-нина, Е.Г. Емельянова, В.Н. Дубинина и других математиков.
В течение последних десятилетий были достигнуты значительные успехи в решении задач об экстремальном разбиении, то есть нахождении точной верхней грани взвешенной суммы приведённых модулей специального вида. В частности. Дж.А. Дженкинс установил связь подобных задач с теорией квадратичных дифференциалов на римановых поверхностях. Также отметим, помимо уже упомянутых авторов, работы М.А. Лаврентьева, П.П. Куфаре-ва, Г.М. Голузина, H.A. Лебедева, Ю.Е. Аленицына, 3. Нехари, П.Л. Дюрена, М.М. Шиффера, Г.П. Бахтиной, А.К. Бахтина, В.О. Кузнецова, С.И. Фёдорова.
Приведённый модуль в классическом понимании, восходящем к работам Г. Грёча и О. Тейхмюллера, тесно связан с внутренним радиусом плоской области. Актуальность получения новых неравенств для внутренних радиусов обусловлена их теоретическими и практическими приложениями в различных областях математики и математической физики. Примеры эффективных приложений такого рода можно найти в монографиях В.К. Хеймана [42], Г.В. Кузьминой [28], Г. Полна и Г. Сегё [37], а также в обзорных статьях Л.Е. Пейна [55]. B.II. Дубинина [10], К. Бэндл и М. Флючера [43].

В теории функций комплексного переменного приведённые модули применяются при изучении квазиконформных и квазирегулярных отображений [59], однолистных гармонических отображений [45], многолистных функций [42].
Значительна роль приведённых модулей в теории конформных отображений, где они являются эффективным инструментом при доказательстве теорем искажения, то есть оценок функционалов, включающих модуль меро-морфной функции и её производных. Теоремам искажения для однолистных функций посвящена обширная литература (см., например, [6, 7, 46]). Среди современных исследований на эту тему отметим работы Д. Минды, Г.В. Кузьминой, Е.Г. Емельянова, А.Ю. Солынина, А.Ю. Васильева, Е.Г. Голузиной.
Целью диссертационной работы является развитие техники обобщённых приведённых модулей, получение новых неравенств для внутренних радиусов плоских областей, а также нахождение верхних и нижних граней некоторых функционалов в классах однолистных функций.
Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. Большинство содержащихся в ней результатов в той или иной форме известны специалистам. В §§1.1, 1.2 собраны основные обозначения, определения и некоторые известные результаты теории потенциала на плоскости, необходимые для дальнейшего изложения. В частности, определяется конденсатор как упорядоченная пара (Р | Л), где Р = (£§
В §1.3 приведена формальная постановка задачи об экстремальном разбиении, а также теоремы, связывающие эту задачу с квадратичными диффе-

Лемма 2.2. Если (7(0)(г) эквивалентно С1г), то
lim f|C'<-°(r)| + a log г) = lim (|C(r)| + a-logr'] , (2-1)
г4,0 V / r|.o V
при условии, что хотя бы один из пределов конечен.
Доказательство. Для определенности предположим, что условия определения 2.1 выполнены с г = 0, то есть
С<°>Ыг)) С С(г) С С(0)Ыг))- (2-2)
Пусть предел в левой части (2.1) конечен. Из предложения 1.2 следует
|(Д<0)(рр2(0)1 + а log?- 4 |С,<-1(г)| + alogr 4 |C0'((pi(r))| + alogr.
По условию log ipk (г) - log г —> 0 при г I 0, к — 1,2. Следовательно, при к = 1
lim f |С,(1) (r)| + a log г) = lim (|<Д(0)(уд;(г))| + alogyr))
Т'4.0 V / ? ДО
= lim (IC?*-0! (r) I + a log r , r|0 V
что и требовалось.
Рассмотрим случай, когда конечен предел в правой части (2.1). При достаточно малых г > 0 положим фк{г) = min{p : С'1ф2{г)) С С°г) С Сф1(г)), что влечёт
|((1)ШГ))! + Ö log Г 4 (c(0)(r)| + alogr 4 | С<у1ф2{г)) + alogr.
lim (|C(r)| + ос log r = lim + alogfc(r))
Г4,0 V / г4,0
= lim f|C'1(r)| +- a logrV □ г4,0 J
Примеры эквивалентных семейств конденсаторов доставляют леммы 2.3 и 2.4.