Совершенные пространства измеримых векторнозначных функций и интегральные операторы

• Автор: Кузьмин, Юрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 153 c. : ил

Глава I. Совершенные пространства измеримых векторнозначных функций

4 I. Исходные обозначения и терминология

§ 2. Определение и простейшие свойства совершенных

пространств измеримых В-значных функций

§ 3. Свойства совершенных пространств в слабой

топологии
§ 4. Свойства совершенных пространств в некоторых топологиях, промежуточных между слабой и сильной

§ 5. Подпространство/Г/, х-7совершенного пространства !_х

Глава 2. Интегральные операторы в совершенных пространствах измеримых векторнозначных функций

§ 6. Исходные определения и факты

§ 7. Сильная и слабая непрерывность интегрального оператора и критерий представимости в интегральном
виде дуального к нему оператора
§ 8. Секвенциальная непрерывность в слабой и нормальной топологиях интегрального оператора
§9. <А ^ -, и СО -непрерывные операторы
§10. Вполне непрерывные интегральные операторы
Литература
Список обозначений
Предметный указатель

В данной диссертационной работе изучаются совершенные пространства измеримых В-значных функций и некоторые классы линейных интегральных операторов, действующих в таких пространствах.
Пространства измеримых числовых функций являются классическим объектом в исследованиях по математическому анализу.
В приложениях наиболее часто используются пространства Лебега, Орлича, Люксембурга. Все они содержатся в классе совершенных пространств, который введён в рассмотрение и изучался Ж.Дьедо-не, И.Га льпериным, Ж.Лоренц, В.Люксембургом. Большой вклад в создание теории совершенных пространств внесли советские математики Я.Б.Рутицкий, П.П.Забрейко, Ю.И.Грибанов. Совершенное пространство - это пространство измеримых функций, совпада~ , щее со своим вторым дуальным и удовлетворяющее некоторым условиям отделимости. В общей теории таких пространств важным является тот факт, что дуальные друг к другу пространства данного типа находятся в двойственности в смысле Бурбаки и обладают целым рядом интересных свойств относительно различных топологий. Например, они равномерно ограничены и секвенциально слабо полны. При некоторых естественных ограничениях там имеют место критерий сильной сходимости, подобный теореме Витали о сходимости в пространствах Лебега, и удобный для применения критерий сильной компактности
Многие задачи из различных разделов анализа сводятся к изучению интегральных операторов. К настоящему моменту общая теория таких операторов развита довольно подробно. Отметим здесь исследования М.А.Красносельского / 25 /, В.Люксембурга и А.Заа-нена / 45 /, П.П.Забрейко / 16,17 /, В.Б.Короткова / 21,23 /,
Ю.И.Грибанова /_8—II /, П.Шептицкого /50/. Для приложений наиболее интересны классы совершенных, нормальных и регулярных
интегральных операторов. Эти классы операторов в совершенных пространствах измеримых числовых функций обладают целым рядом важных свойств непрерывности.
В последние два десятилетия при решении конкретных математических задач всё более широко используются векторнозначные функции. Этим объясняется возросший интерес к пространствам измеримых В-значных функций. Многие важные результаты по общей теории таких пространств получены совсем недавно в работах Ж.Брукса и Н.Динкуляну / 33,34 /, А.Макдональда / 46,47 /,
Ю.Батта / 32 /, Ж.Буржина / 35 /, Н.Кака / 36,37 /, А.В.Бухвалова / 5“ /, Ж.Дистеля / 39 /.
Работа состоит из двух глав и разделена на десять параграфов.
В первой главе изучаются свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций в различных отделимых локально выпуклых топологиях, определяемых двойственностью между ними.
В § I приведены исходные определения и факты теории меры, векторного интегрирования и общей теории двойственности векторных пространств. Пусть(3 -пространство с 6^
-конечной, неотрицательной и полной мерой, X и У -банаховы пространства в двойственности относительно билинейной формы <• , • > . Через -обозначается пространство
всех классов измеримых функций ^ ^ —* X равных ^ -почти всюду.
В § 2 определяется основной объект исследования первой главы - класс совершенных пространств измеримых В-значных функций и устанавливаются его простейшие свойства.
L( Ч- I
^ I— - дуальные друг к другу совершенные пространства измеримых числовых функций. Совершенным прост-ранством измеримых В-значных функций называется нормальное векторное пространство

61X 5 У ) и значит СХОДИТСЯ В ТОПОЛОГИИ (?СХ^З при любом Де£.(1_ ). т.е. для С^ ) выполняется и условие 2) теоремы 3.3. Поэтому существует аункция £ & 1_ч такая, что С-^м.4) сходится к в слабой

ТОПОЛОГИИ «'сцц1;). Отсюда заключаем, что совершенное пространство !_* секвенциально полно в слабой топологии
Данный критерий секвенциальной слабой полноты для банаховых совершенных пространств измеримых В-значных функций, определенных на пространстве с сепарабельной мерой, был установлен В.Г.
Наводновым / 27 /. Несколько позже он был доказан для пространств I Р
Лебега-Бохнера 1_х 00 Ф. Гордоном / 43 /.
Доказанные выше утверждения позволяют установить следующий критерий слабой квазиполноты.
Теорема 3.5. Для того чтобы совершенное пространство 1_х

было квазиполным в слабой топологии 611-х > 1_ ^ ) » необходимо и достаточно, чтобы совершенное пространство [_ было квазиполным в слабой топологии 6Х|_ ^) , пространство X было квазиполным в топологии
О Необходимость. Пусть совершенное пространство |_^ квазипол-
^ 1 но в слабой топологии 1_х >1_ ^ . Покажем, что пространство 1_
квазиполно в слабой топологии . Фиксируем ограниченную направленность из 1_ , фундаментальную в топологии
«(ЦП . Пусть элемент х ф 0 из X . Рассмотрим ограниченную направленность • . В силу включениям А е ,
верного при любом
Ч.Аг. 4 1 ь
т.е.а^) фундаментальна в топологии 6(1* ,1-0 . Поэтому
существует функция -$-е 1_х , к которой (*■ ^ ^ сходится в топологии Пусть элемент уе У такой, что<х^>
Функция < ^ ■> ^ > £= и . Поэтому