О классах возмущений спектрально неустойчивых операторов

• Автор: Ишкин, Хабир Кабирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 208 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Критерий безмонодромности
1.1. Критерий безмонодромности уравнения Штурма - Лиувилля на замкнутой кривой
1.2. Критерий безмонодромности для систем Дирака
Глава 2. Операторы Дирака и Штурма — Лиувилля на кривой
2.1. Некоторые вспомогательные утверждения
2.2. Аналог теоремы Марченко
2.3. Критерий 1-локализации спектра оператора Штурма - Лиувилля
2.4. Критерий т-локализации спектра оператора Дирака на кривой .
2.5. Примеры
Глава 3. Комплексный ангармонический осциллятор
3.1. Спектр оператора Го
3.2. О необходимости условий А) — Б) для 1-локализации спектра .
3.3. Критерий 1-локализации спектра оператора Но + V
Глава 4. Теоремы о локализации спектра в случае наличия непрерывного спектра и в квазиклассическом пределе
4.1. Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом
4.2. Модельный оператор, связанный с оператором Орра - Зоммср-фельда
4.3. Критерий расщепления спектра
Литература
Введение
Оператор Т, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н, условимся называть близким к самосопряженному, если Т = То + V, где То самосопряжен, V компактен относительно То, то есть П(У) Э И(Т0) и оператор Н(То + г)“1 компактен. Если То полуограничен снизу и при некотором г > 0 оператор (То + г)~1//2К(То + г)-1/2 компактен, то оператор Т — То + V, где сумма понимается в смысле квадратичных форм, будем называть близким к самосопряженному в смысле квадратичных форм. К настоящему времени спектральная теория операторов, близких к самосопряженным, разработана достаточно полно: имеющиеся результаты практически полностью решают вопросы об асимптотике спектра и полноте или базисности системы корневых векторов (см. [1, 25, 26, 28, 47, 48, 81], а также [64] и имеющиеся там ссылки). Так, согласно известной теореме М.В.Келдыша [26], любой оператор В, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н и близкий к самосопряженному оператору То, спектрально устойчив в следующем смысле: если спектр То дискретен и функция IV(г, То) (количество собственных значений То (с учетом кратности) в интервале (—г, г)) удовлетворяет некоторому условию (ТГ)1, то
Р) система корневых векторов Т полна в Н
Рф) при любом е > 0 спектр оператора Т вне углов {|а^А| < е} и {|а^А — 7г| < е} конечен и для функции N (г, Т) — количества собственных значений оператора Т, с учетом их алгебраических кратностей, в круге |А| < г — справедливо соотношение
ЛДг, Т) ~ ЛГ(г, Т0), г +оо. (1)
Теорема Келдыша утверждает, что любой самосопряженный оператор То, удовлетворяющий ее условиям, определяет класс эквивалентности операторов,
1 Это условие заключается в существовании некоторой функции +(г), такой, что N (г, £0) ~ --р(г) при г —» +оо и 1р(г) удовлетворяет тауберовым условиям Келдыша [26, 27], которые впоследствии были обобщены Б.И. Коренблюмом [30].

близких к Ьо и обладающих свойством Ра := Р* Л Р2.
Предположим теперь, что Ьо не удовлетворяет какому-то из условий теоремы Келдыша. Поставим вопрос: можно ли выбрать какое-либо спектральное свойство Ра оператора Ро так, чтобы существовал нетривиальный класс возмущений V, сохраняющих это свойство?
Как показывают многочисленные примеры (см. [77, 80, 95-100, 106, 110, 119-123, 126, 132, 137, 138] и др.), операторы, не являющиеся близкими к самосопряженным (для краткости: операторы, далекие от самосопряженных), как правило спектрально неустойчивы: резольвентная норма ||(Р — .г)-1|| может быть большой даже при г, далеких от спектра Р. Поэтому в случае, когда Р — далекий от самосопряженного дифференциальный оператор, для получения некоторой нетривиальной информации о спектре приходится на коэффициенты соответствующего дифференциального выражения накладывать дополнительное (гораздо болсо жесткое по сравнению с близким к самосопряженному случаем) условие аналитичности в некоторой окрестности соответствующего промежутка. Технически требование аналитичности обусловлено тем, что при отказе от него пришлось бы «ловить» экспоненциально малые члены на фоне степенных ВКБ-разложений. Коль скоро мы собираемся описывать классы возмущений, сохраняющих какое-либо спектральное свойство Ра, то должны ответить на вопрос: вызвано ли это дополнительное условие только недостатком метода или связано с существом дела (спектральной неустойчивостью)? В рамках традиционных методов ответ на этот вопрос не представляется возможным. В связи с этим актуальной становится разработка новых методов, пригодных для изучения спектральных свойств операторов, далеких от самосопряженных.
В диссертации предложен метод, который позволяет в ситуации, когда не работает теорема Келдыша, получить для различных типов дифференциальных операторов полное описание классов возмущений, сохраняющих определенное спектральное свойство Ра. Оказалось, что этот метод с одинаковым успехом применим как к регулярным, так и к сингулярным дифференциальным

имеет решения е и е+, для которых справедливы асимптотические представления
е±х, А) ~ ±(д - А)( 1+2к)/4ехр J у/Я - Аdttj (1 + г£(х, А)) , к = 0,1,

где г//(х, А) -> О
а) при х —> +оо равномерно по А из любого компакта К С С, не пересекающегося с кривой Сд,
б) при А —> оо равномерно по 9 + е < а^А < 27т и х > 0.
Ясно, что если функция V удовлетворяет условиям (20) и (69) на некотором луче &т&х — а, то существуют решения е±, удовлетворяющие условиям (71), а),б) относительно этого луча.
Введем обозначения. Пусть Ьд — Нд + V, Ь$ = НД + V, где Н$ — оператор, который получается из Нд заменой краевого условия у(0) = 0 на у'(0) = 0. Далее обозначим через {А*}^, {^-}“, {А(^}^ и — собственные числа
операторов Нд,Ьд,Н^ и Ь// соответственно, пронумерованные в порядке возрастания модулей с учетом их кратностей. Пусть 0 < в < тт (случай — п < в < 0 аналогичен), обозначим 5(7?, 9) = [/ Теорема 0.14 (Основной результат главы 3). Пусть V допускает меро-морфное продолжение в угол 11д так, что
a) V й> 0 V £ М£'1(5(Я, в)),
b) угловые граничные значения функции V на луче а^г — —0/(2 + а) таковы, что функция ИДт) = V(е~0г^2+п',х) удовлетворяет условиям (20) и (69),
c) V А ИДе_,е_) = 0, где IV — вронскиан, е-(г, А) и ё_(г, А) — решения уравнения (70), удовлетворяющие оценке (71) на лучах атgz = 0 и &'rgz = —0/(2 +а) соответственно.
6 Здесь и всюду далее в работе ветви корней цр и степеней га выбраны так, что у/г, га > 0 при г > 0.