О замкнутости многопараметрического операторного пучка

• Автор: Глазкова, Мария Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 84 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 Замкнутость линейных многопарамертических
операторных пучков.
1.1 Постановка задачи
1.2 Примеры
1.3 Критерий замкнутости
1.4 Конусно равномерная положительность
1.5 Косинус
1.6 Аккретивные операторы
1.7 Замкнутость операторных матриц
2 Возмущение самосопряженных операторов
2.1 Гильбертово пространство
2.2 Пространство Понтрягина
2.2.1 Базовые определения
2.2.2 Возмущение самосопряженых операторов в пространстве Понтрягина
Список литературы

Введение
Проблеме исследования замкнутости операторов, оператор-функций уделяется большое внимание в научной литературе. Впервые этот вопрос возник при исследовании класса интегродифференциальных операторных уравнений в гильбертовом пространстве, порожденных начально-краевой и спектральной задачами о малых движениях вязкоупругой жидкости в полностью заполненном контейнере. Одной из моделей таких жидкостей является модель Олдройта [44], которая при т — 1 исследовалась в работах А.И.Милославского [11]-[13]:

~ + Аи+ j Bu{s)ds = /(£), и(0) = щ,

где 'Н гильбертово пространство, и : [0,оо) -4 Н ,/ :
[О, ос) —> 'Н, fi — положительное число, но £ 'К- и А и В —
самосопряженные равномерно положительные операторы на Н с одинаковыми областями определения:
А = А* >> О, В = В*»0, dom А = dom В.
В работе Т.Я.Азизова, Н.Д.Копачевского, Л.Д.Орловой [2] доказано,что она имеет единственное сильное решение при обычных условиях на /. Эту задачу можно привести к стандартному
виду линейной дифференциальной задачи в пространстве
Д2 = В 0 В. Тогда возникает вопрос о замкнутости операторной матрицы. Подобные задачи были исследованы в работах H.Langer, V.M.Adamyan [15], H.Langer, V.M.Adamyan, R.Mennicken, J.Sauer

[16], H.Langer, Chr.Tretter [42j), S.Alberio, J.Brasche, H.Neidhardt
[17], а также R.Mennicken, A.A.Shkalikov [43] и др. В нашей работе рассматривается операторный пучок, связанный с задачей Коши
(л у = 1 /ftj, j = 17»)
du f
— + Aqu + I ^ ^e ^Aju{s)ds = /(t), w(0) = Щ'

Найдено достаточное условие замкнутости этого операторного пучка, которое основывается на понятии "косинуса угла между операторами". Впервые это понятие было введено и исследовано П. Е. Соболевским [14]. Достаточно полная теория построена К.Gustafson [29](см. также [30]-[33])
Понятие замкнутости играет важную роль в теории возмущений и расширений линейных операторов. Теория возмущений линейных операторов представляет собой набор довольно разнообразных результатов по спектральной теории линейных операторов. Со времени ее создания Рэлеем и Шредингером эта теория заняла важное место в прикладной математике. Этому направлению посвящено много научных трудов, см., например, Т.Като [5], М.Г.Крейн [7]-[8], М.Г.Крейн. М.А.Красносельский [9], М.Г.Крейн, М.А.Красносельский, Д.П.Мильман [10], M.G.Krein, A.A.Nudelman
[36]. Теория возмущений исследуется в работах В.Д.Кошманенко
[37] (а также [38]-[41]), В.Д.Кошманенко, Т.Каратаева [35], S.Alberio, W.Karwowski, V.D.Koshmanenko [19],а также H.Neidhardt, J.Brasche [22]-[24] H.Neidhardt, J.Brasche, J.Weidman [25] [26] и др.
Мы предлагаем, возможно, новый подход к этой задаче в случае гильбертова пространства и распространяем его на случай пространства Понтрягина.

Докажем обратное. Пусть существует вектор щ € Е"г такой, что (Лщ, щ) > 0 и имеет место равенство Рд П Е+ = {0}. Прежде всего покажем, что (Аи, и) > 0 для всех векторов и Е Е . Допустим это неверно, то есть имеется вектор и Е Е такой, что < 0.
Для щ щ + Ы € Е имеем
(Лщ,щ) = (Ащ,щ) + 2£Ле (Дм0,Н1) + ^(Аи1,щ).
Для достаточно больших £ число (Ащ,щ) отрицательно, и положительно для достаточно малых С Следовательно, существует £о > 0 такое, что (Ащ0, щ0) = 0, € Рд П Е. По предположению
щ0 = 0 и, следовательно, щ = —и (.Дг«о,«о) = < 0,
что противоречит предположению (Ащ,щ) > 0.
Итак, (Ли, и) > 0 для всех векторов и Е Е. Предположим, что А — не конусно равномерно положительная матрица. Тогда существует последовательность {«„} С Е, ||н„|| = 1 такая, что (Аип,ип) —> 0 (п —» оо). Без ограничения общности положим, что {ип} имеет предел у. Тогда (Аип,ип) —>■ (Дгуг), и следовательно,
V Е Р% Так как ||и„|| = 1, имеем [|г[| = 1, {ип} С Е, значит
V 6 Е. Таким образом, 0 ф V Е Рд П Е = {0}.
Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Следствие 1.3. Пусть А — неотрицательная матрица. Тогда А конусно равномерно положительна тогда и только тогда, когда кег А П Е = {0}.
Доказательство. Это следует непосредственно из теоремы 1.3, если заметим, что в этом случае (А > 0) подпространство кегД совпадает с Р_д.