О задаче Коши и формулах Карлемана для комплекса Дольбо над пространствами распределений

• Автор: Федченко, Дмитрий Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление
Введение

1 Формула Мартинелли—Бохнера—Коппельмана в

пространствах распределений

1.1 Комплекс Дольбо над стандартными функциональными

пространствами

1.2 Пространства Соболева с отрицательными показателями

гладкости
1.3 Следы на границе нормальной и касательной составляющих комплексных дифференциальных форм

1.4 Формула Мартинелли-Бохнера-Коппельмана в пространствах распределений

2 Задача Коши для системы Коши—Римаиа

2.1 Задача аналитического продолжения
2.2 Обобщенная постановка задачи Коши для системы Коши-
Римана в пространстве Лебега Ь2 в области
2.3 Критерий разрешимости задачи Коши
2.4 Формулы Карлемана для областей специального вида
2.5 Формулы типа Карлемана в цилиндрических областях
3 Задача Коши для комплекса Дольбо в положительных
степенях
3.1 Задача Коши для комплекса Дольбо в стандартных пространствах Соболева
3.2 Задача Коши для комплекса Дольбо в пространствах распределений
3.3 Задача Коши для комплекса Дольбо в пространстве Лебега
Ь2 в области
Заключение
Введение
Интегральные представления в комплексном анализе решают классическую задачу восстановления голоморфной функции в некоторой области из п-мерного комплексного пространства по ее значениям на границе или на части границы этой области. Например, интегральное представление Мартинелли-Бохнера задействует значения функции на всей границе, а интегральное представление Коши для поликруговых областей -только значения па остове. Еще со времен Адамара [33] известно, что эта задача, вообще говоря, является некорректно поставленной, а именно, в случае задания значений на произвольном подмножестве границы, может не быть непрерывной зависимости решения задачи от ее начальных данных. С другой стороны, если множество, па котором заданы данные Коши, достаточно массивно, то теорема единственности для голоморфных функций гарантирует, что задача Коши имеет не более одного решения, что, в свою очередь, позволяет надеяться на возможность построения подходящего интегрального представления для решения задачи. В этом случае некорректность задачи означает, что в данном интегральном представлении будет содержаться предельный переход или интегрирование будет вестись по некомпактному множеству. Одна из первых формул, восстанавливающих голоморфную функцию в области одного специального вида по ее значениям на части границы, была предложена Кар-леманом [30], а формулы подобного рода стали называться формулами Карлемана. После этой пионерской работы появилось множество других, связанных как с одномерными, так и с многомерными формулами Карлемана (Голузин-Крылов [5], Лаврентьев [10], Фок-Куни [17], Ярму-хамедов [24]). Все эти и многие другие формулы, а также их приложения представлены в монографии Айзенберга [1]. Многомерные формулы Карлемана стали появляться в 90-х годах ХХ-го столетия (Айзенберг-Кытманов [3]). Уместно отметить, что данные исследования были глу-

боко мотивированы с точки зрения приложений (гидродинамика, теория передачи сигнала, геологоразведка и т.д.), по этой причине данная тематика остается актуальной (см. [26], [28], [46], [41]).
Однако, в ходе изучения задачи аналитического продолжения для голоморфных функций многих переменных, стало ясно, что правильнее рассматривать более общую задачу: задачу Коши для многомерной неоднородной системы Коши-Римана (см. |47|, |46]). В случае одного комплексного переменного эти задачи эквивалентны во многих естественных функциональных пространстствах (например, в пространствах Гёльдера или Соболева), но для многих переменных, чтобы доказать эквивалентность, требуется информация о разрешимости системы Коши-Римана или, другими словами, о когомологиях комплекса Дольбо на первом шаге [18] над различными функциональными пространствами, а значит, такая эквивалентность не имеет места для областей, не обладающих некоторыми свойствами выпуклости относительно оператора Коши-Римана.
Как оказалось, результаты, полученные для системы Коши-Римана, естественным образом могут быть обобщены на случай общих эллиптических переопределенных систем [51]. С другой стороны, многомерный оператор Коши-Римана, продолженный на комплексные дифференциальные формы, порождает соответствующий комплекс совместности, называемый комплексом Дольбо, который играет важную роль во многих вопросах комплексного анализа. Итак, задача Коши для комплекса Дольбо представляет другое важное обобщение классической задачи Коши для голоморфных функций, активно изучаемое в последние годы (Андреотти-Хилл [27], Бринкшульте-Хилл [29], Кытманов-Мысливец [9]). Особую ценность эта задача приобрела после представления Хансом Леви [40] примера дифференциального уравнения без решений, построенного с помощью касательного оператора Коши-Римана, тесно связанного с задачей Коши для комплекса Дольбо. Ясно также, что эта задача Коши может стать хорошим модельным примером для изучения задачи Коши для более общих эллиптических комплексов.
Кроме того, несмотря на обилие работ по тематике, вопрос о том как

Согласно замечанию 1.3, форма представима через свои значения на дВ интегралом Пуассона V — Р^пЧ(и), а значит, V е Щ(В,АМ). Кроме того, из замечания 1.3 следует, что ид = О^д*/ также принадлежит Н8(В, Ар'д). Таким образом, по теореме 1.5, формы V и ид принадлежат Я^д.(ДА)сЯ§(ДЛ).
Возьмем какую-нибудь последовательность {иС Ссо(В, Авд), аппроксимирующую и в пространстве Ж8(В, Ар,д). В силу непрерывно-сти операторов д,5+ъ Я3+[ (см. замечание 1.3) и 8 (см. лемму 1.1) мы зключаем, что последовательность {дО^д ии} С С°°(В, Ар’я) сходится к д3+1^1^_д*и в пространстве ^5(Я, Ам). Кроме того, последовательность {8(80^0*11,.,) = 0} С С0о(В) Ар,я) сходится к нулю в пространстве Жв~1{В,Ар'д+1). Следовательно, форма д3+10^д*и принадлежит Щ(В, Ар, Определив пространства Я|. Ш(В, Ар,д) и Я|ф^, ^(Д Ар'9) аналогичным образом, мы легко получаем следующие утверждения.
Следствие 1.4. Пространства Щ»(В,Ар’д) и НА, {В, Ар’д), в ^ 0, совпадают.
Следствие 1.5. Пространства, Я|ф-,(Д Ар,д) и Я| ^.^(ДАМ), в ^ 0, совпадают.
Следствие 1.6. Справедливы равенства:
. Я|еГ(А Ам) = Щ(В, Ар/1) П Я|.(Д Ам),
Д(Д Ам) = Щ(В, Ам) П Я*(Д Ам).
Аналогично определению 1.3, можно дать определение слабых граничных значений нормальной части формы на Г.
Определение 1.3. Пусть и € Яу (Д Ам), а Ь е Н(В, Ам_1) с д и = 1г в П. Будем говорить, что форма и имеет слабое граничное значение г/р(и) на Г, равное г/(и1) для и1 € ^'(Г, Ар,д), если
(Ь,^)в - (щдф)п = («/(и1), *т(^))г Для всех ф е С£тр(В и Г, Ар'д~г).