Мультипликативные интегралы, связанные с нелинейными операторными эволюционными уравнениями

• Автор: Гавришова, Наталья Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 110 c. : ил

ГЛАВА I. Мультипликативное представление нелинейных
эволюционных семейств
§ I. Формальные операторы и форлальные степенные
ряды в линейном топологическом пространстве
§ 2. Эволюционное семейство форлальных операторов
§ 3. Мультипликативное представление эволюционных
семейств
§ 4. Хронологическое произведение эволюционных
семейств
Глава II. Диаграммный метод построения композиционного
мультипликационного интеграла
§ I. Описание пространства ветвящихся траекторий и
определение ветвящейся композиции на нем
§ 2. Построение эволюционного семейства с помощью
ветвящейся композиции операторов
§ 3. Оценка количества деревьев фиксированного
порядка
§ 4. Задача Коши для нелинейного уравнения
Глава III. Построение континуальных интегралов, связанных
с некоторыми уравнениями математической физики
§ I. Пространство ветвящихся траекторий
§ 2. Определение меры на ветвящихся траекториях
§ 3. Построение континуальных интегралов для уравнений с локальными и нелокальными нелинейностями
Литература

Нелинейные эволюционные уравнения с операторными коэффициентами часто встречаются в математической физике, что определяет важность их изучения.
Приведем некоторые из таких уравнений, включающиеся в рассматриваемый класс.
В нелинейной теории диффузии хорошо известно уравнение Бюргерса
^ — + ё(х') СС .
Эё дх*- дх- (I)
(см., например, книгу Уизема [I ] ).
Другим примером может служить уравнение Кортевега-де-Фргза ( КдФ ), популярное сейчас в связи с развитием теории солитонов
д1 дх.3 дх
Отметим еще важные уравнения другого типа - нелинейное уравнение Шредингера
и его интегральный аналог - уравнение типа Хартри
(4)

Известно 2] , что решение линейных эволюционных уравнений
= АЩиС^) (5)
при некоторых условиях разлагаются в мультипликативный интеграл

з = £іт П Є
К + Оа
(6)
Для неограниченных операторов подобные результаты были получены Т.Като I 3 1 и его последователями (см. книгу С.Г.Крейна , где имеется подробная библиография).
Если производящий оператор в (5) представим в виде суммы двух слагаемых
то при определенных условиях можно видоизменить формулу (6) и получить представление
Когда к, (І) и ВСІ) - линейные неограниченные операторы, в этом направлении имеются известные результаты X.Троттера [ 5 ] , Ю.Л.Далецкого [б] , В.П.Маслова и И.А.Шишмарева І7 ]
В такой постановке эта задача тесно связана с представлением решения задачи Коши в виде континуального интеграла (интеграла по пространству ветвящихся траекторий), - строгим обоснованием формулы Фейнмана-Каца [ 8 ]
На случай нелинейных уравнений эти результаты были обобщены А.Т.Задлитной и Ю.Л.Далецким I 9 ] , которые построили аналог представления (7) и показали, что он приводит к континуальному интегралу по пространству ветвящихся траекторий (деревьев).
Последний факт тесно связан с исследованиями А.В.Скорохода по ветвящейся диффузиии і Ю ]
Мультипликативные представления в нелинейном случае были развиты Дж.Марсденом [II] и П.Черновым [12] , а теория континуального интеграла в работах В.П.Маслова и А.М.Чеботарева [15] (для уравнения Хартри).
А(1) - АД) ВС*),
и(і)- Ііт П е
(7)
К-+0О

И(*.*)-У(^0°УУ0,10. (1.74)
Тогда существует предел (1.71) и предельное семейство является эволюционным.
Доказательство. Покажем, что из условий теоремы 1.3 следует условие г) теоремы 1.1. Запишем по определению композиции и в силу эволюционяости семейств и У ;
= [ У(£,5).1У(4,5).
о^(а,-с:)]^(Vе)
Распишем внутреннюю композицию в последнем равенстве для некоторых фиксированных г и ( ) .

•№у](£а*))г
где **') е 1^.К.