Задачи об установившихся колебаниях полуцилиндра с некоторыми упругими структурами и связанные с ними самосопряженные квадратичные пучки

• Автор: Аргета Гарсия Марио Отон
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с.

Глава I. Установившиеся колебания полуцилиндра с кубической упругой структурой

и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки

§1. Спектральные задачи-4, (а) и i^(ar) в случае кубической структуры

1. Постановка задачи

§2. Сведение задач £а(а) и £?ш(а) к пучкам Ьа(сс) и L°(a)

1. Сведение задачи £ш (а) к пучку La (а)

2. Сведение задачи £а{а) к пучку Х°(а)

§ 3. Некоторые свойства пучков Ьш(а) и £°(аг)

1. Статический случай для задач £ш(а) и 1£а(а)

2. Основная теорема для пучков Ьш (а) и £ш{а)

§ 4. Полнота корневых векторов пучка L(m,a)

1. Квадратичный пучок L(a)
2. Теорема о двукратной полноте корневых векторов пучка L{a)
3. Теорема о полноте корневых векторов для задач -£,,(«) и -£°(а)
§5. Некоторые предложения к задачам £ш(а) н 1£ш{сс)
1. Нахождение корневых векторов задачи (а) в точке а
2. Теоремы движения вещественных собственных значений
3. Спектральные задачи (а) и в полуполосе
Глава II. Установившиеся колебания полуцилиндра с ромбической упругой структурой
и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки
§6. Спектральные задачи £а (от) и IJ, (а) в случае ромбической структуры
1. Постановка задачи
§7. Сведение задач £ш(а) и £а(сс) к пучкам Ьа{а) и £а{сс)
1. Сведение задачи 7!и (от) к пучку 7а(«)
2. Сведение задачи £ш(а) к пучку 7° (а)
§ 8. Некоторые свойства пучков Ьа(а) и 7° (а)
1. Статический случай для задач £ш (а) и 7^, (а)
2. Основная теорема для пучков Ьш(а) и 7° (а)
3. Теорема о полноте корневых векторов для задач £ш (а) и £?а (а)
§9. Некоторые предложения к задачам £ш(а) и £а(а)
1. Нахождение корневых векторов задачи 7^, (а) в точке а
2. Теоремы движения вещественных собственных значений
3. Спектральные задачи £0(а) и 7^(а) в полуполосе
Глава III. Установившиеся колебания полуцилиндра с триклинной упругой структурой
и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки
§10. Спектральные задачи £и (а) и 7^,(а) в случае триклинной структуры
1. Постановка задачи
§11. Некоторые свойства пучков Ьш{а) и 7° (а)
1. Статический случай для задач £а (а) и Т£, (а)
§12. Сведение задач £а(а) и 7°;(а) к пучкам Ьс;(а) и 7^(а)
Заключение
Список литературы

В работе изучаются спектральные свойства квадратичных операторных пучков, возникающих при разделении переменных в задаче о колебаниях полуцилиндра с разными упругими структурами. Постановка математической задачи основана на упругих свойствах кристаллов и их симметрии при малых деформациях структурной решетки кристалла.
Рассматривая какое-нибудь деформированное тело, мы имеем, что если деформация тела очень мала, то по прекращении действия вызвавших деформацию внешних сил, тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называют упругими. При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации. Такие деформации называют пластическими (см. [3]).
Бесконечное малое изменение йЕ внутренней энергии, равно следующей сумме:
<1Е = Т<18 + ал<1ел где е,к=^ +
дхк дх,
где Г-температура, 5-энтропия, <т,4 - тензор напряжения и е1к -тензор деформации. Вводя в место энергии Е свободную энергию IV тела
Ш = Е-ТБ,
получим следующее соотношение
<Ш — + ст,кс1е1к.
Компоненты тензора напряжений можно получить, дифференцируя IV по компонентам тензора деформации соответственно при постоянной энтропии 5 или температуре Т.
При рассмотрении упругих свойств кристаллов мы имеем дело со связью между тензорами напряжения и деформации. Так как они оба являются симметрическими тензорами второго ранга, т. е. имеют по шесть компонент, то наиболее общий вид линейной связи между напряжениями и деформацией будет зависеть от 6x6 = 36 коэффициентов (см. [34]).
Изменение свободной энергии W при изометрическом сжатии кристалла является, как и у изотропных тел, квадратичной функцией тензора деформации. В противоположность тому что имеет место для изотропных тел, эта функция содержит теперь не два, а больше число независимых коэффициентов. Общий вид свободной энергии деформированного кристалла есть:
W=clklnelke,m, (2)
где сМт есть некоторый тензор 4-го ранга (см. [33]), называемый тензорам модулей упругости. Поскольку тензор деформации симметричен, то произведение etJelm не меняется при перестановке индексов ick, /сот или пары /, к с парой /, т. Очевидно поэтому, что и тензор сш может быть определен так, чтобы он обладал такими же свойствами симметрии по отношению к перестановке индексов:

Доказательство.
а) Пусть у, - присоединенный вектор к вектору у0. Тогда V, определяется из следующей системы уравнений:
С0(0)у, +-т—С0(0)г(|

I 0 схВ22)
0 (с2 + с3)Д
(с2 + с3)Д
Л. г
сзД V,)
с,Д у|2

сЛП2)[уп)
0 с3п2)(
с3и2 Дуц _схп2 ДУ|2 + 1с2п2
Из этой системы мы находим, что вектор V, принимает вид:
у, =-/£(0,х2), где
Пусть у2 - следующий присоединенный вектор. Тогда у2 определяется из следующей системы уравнении:
Со(0>2 + #-С0(0)у, +1^1с0(0)у0
с3£>2
I 0 схВ)
(с2 +с3)Д

10 ] + П
Л-*&г) 1о 1«)
с3Д2у2, +д’(с2 +с3)-с,
>2У22
С]Д у2гцо>г+^;Чо>1
у2Л+/ 0 с3п2У О _Гс3и2Ду21 +&3п2х2^| (>
г22) с2п2 0 -iScJ { схп2Оу22 )0
и2Д о '
0 схп2В2
Из этой системой уравнений, рассмотрим следующую задачу:
с3Д2у2| = -<5(с2+с3) + с, =~8с3п2х2
(1)