Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности

• Автор: Чуешев, Виктор Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 260 с.

Глава 1. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на фиксированной компактной римановой поверхности
§ 1.1. Основные свойства мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Теоремы Абеля и Римана-Роха для характеров
§ 1.2. Топологические и аналитические свойства группы характеров для фундаментальной группы компактной поверхности
§ 1.3. Пространства мероморфных мультипликативных функций и д—дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Теорема Римана-Роха для <7—дифференциалов Прима и характеров
§ 1.4. Мультипликативные д—точки Вейерштрасса на компактной римановой поверхности. Мультипликативные пробелы по Вейерштрассу и по Нетеру и их фильтрационные характеристики в многообразии Якоби
Глава 2. Базис в пространстве мероморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности
§ 2.1. Пространства Тейхмюллера, вложение Берса и модули компактных римановых поверхностей
§ 2.2. Базис голоморфных дифференциалов Прима и абелевы дифференциалы третьего рода на переменной компактной римановой поверхности
§ 2.3. Базис голоморфных дифференциалов Прима и тэта-функция Рнмана на переменной компактной римановой поверхности
§ 2.4. Базис пространства мероморфных дифференциалов Прима, кратных дивизору, на переменной компактной римановой поверхности
Глава 3. Периоды гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Гармоническое векторное расслоение Прима и когомологическое расслоение Ганнинга над пространством Тейхмюллера
§ 3.1. Гармоническое векторное расслоение Прима, когомологическое расслоение Ганнинга и представления группы Торелли для фиксированной компактной римановой поверхности
§ 3.2. Периоды замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Общая формула для билинейного спаривания
§ 3.3: Гармоническое векторное расслоение Прима и когомологическое расслоение Ганнинга над пространством Тейхмюллера
Глава 4. Векторное расслоение Прима над пространством Тейхмюллера, над пространством групп Кебе и над пространством гиперэллиптических римановых поверхностей
§ 4.1. Пространства компактных римановых поверхностей с неполным отмечанием и пространства групп Кебе. Топологические и аналитические свойства этих пространств
§ 4.2. Векторное расслоение Прима из мероморфных автоморфных форм Прима, кратных дивизору, над пространством групп Кебе
§ 4.3. Базис голоморфных дифференциалов Прима, голоморфно зависящий от характеров и от точек ветвления гиперэллиптической римановой поверхности
Глава 5. Проективные структуры и группы монодромии линейных дифференциальных уравнений на компактной римановой поверхности
§ 5.1. Униформизация и проективные структуры на компактной римановой поверхности. Отображение монодромии над пространством квазиконформных деформаций групп Кебе
§ 5.2. Точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка и для решений нелинейного уравнения Шварца на компактной римановой поверхности
Список литературы

Основы классической теории римановых поверхностей и абелевых дифференциалов на компактных римановых поверхностях были заложены в работах Б. Римана, Ф. Клейна, К. Вейерштрасса и А. Пуанкаре. Теория римановых поверхностей тесно связана со многими направлениями в современной математике - теорией функций на комплексных многообразиях, алгебраической геометрией, топологией и уравнениями математической физики. Она содержит три основных аспекта: топологический (двумерные поверхности и фундаментальные группы), алгебраический (дискретные группы, группы автоморфизмов поверхностей и комплексных многообразий) и аналитический (функции и дифференциальные формы на поверхности, дифференциальные уравнения и функциональный анализ).
Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима и их периоды появились в конце 19 века в работах Ф. Прима [84], П. Аппеля [33 - 35] и позднее Р. Кенига, О. Хаупта, Г. Петерсона [71; 62; 83]. Для дальнейшего изучения этих объектов было недостаточно средств из алгебры, геометрии, теории функций и дифференциальных уравнений.
К середине 50-х годов 20 века появились нужные алгеброгеометрические средства, например, теория голоморфных векторных расслоений над комплексными многообразиями в работах Н. Стинрода [21] и Г. Грауэрта [55]. Затем в работах М.А. Лаврентьева, Ю.Г. Решетника [18], П.П. Белинского [3] была развита теория квазиконформных отображений. С помощью этой теории была решена 22 проблема Гильберта и исследованы обшие пространства Тейхмюллера компактных римановых поверхностей и пространства клейновых групп в работах Л. Альфорса [1; 32], Л. Берса [1; 38 - 41], С.Л. Крушкаля [13], И. Кра [72 - 74] и Б. Маскита [77 - 80]. Квазиконформные деформации фуксовых и других клейновых групп в настоящее время являются одним из важнейших методов в исследованиях по геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях. Введению римановой метрики в общих метрических пространствах и когомологическим вопросам комплексного анализа были посвящены работы В.Н. Берестовского [4], Р. Ганнинга [6; 58 - 61] и А.К. Циха [26].
Теория краевых задач в классе аналитических функций на компактных римановых поверхностях для сложного (составного) контура была развита в работах В.Н. Монахова [15], Л.А. Аксентьева [2], Э.И. Зверовича [10], Л.И. Чибриковой [27] и С.Р. Насырова [16]. Многозначные аналитические функции с постоянными модулями граничных значений изучены метода-

Предложение 1.2.4 [52, с.134]. Отображение ф задаёт изоморфизм фактор-группы Нотп(Т, С*)/Ьд на отмеченное многообразие Якоби «/(Я) для отмеченной компактной римановой поверхности Р рода д > 2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что ф корректно определенный групповой гомоморфизм из Нотп(Г, С*) в «/(Я). Если для данного р существуют две не равные тождественно нулю мультипликативные функции Д и Д, то / = Д/Д - однозначная мероморфная функция на компактной римановой поверхности Д. Поэтому (Д) линейно эквивалентен (Д), а значит Ф(р) = ¥>((/1)) = ¥>((/2))- Затем
Ф{рР2) = ¥>((/1/2)) = ¥>((/1)) + ¥>((/2)) = Ф(р) + Ф(Р2)
И ф(р~1) = — ф(р), для любых Рх,Р2 И р из Нотп{Г, С*).
Покажем, что ф - отображение "на". По теореме Якоби для любого а 6 Ф{Р) существует дивизор Оа € К, такой, что а) = а. Отсюда (РР0{Оа/Ро) = а и дивизор Оа/Р^ степени нуль является дивизором мультипликативной функции /„ с некоторым характером ра. Следовательно
Ф(ра) = ¥>((/<*)) = <р(Ра/Р$) = а.
Наконец из теоремы Абеля для характеров имеем, что р € Кегф (ядро отображения ф) если: и только если р - несущественный характер, т.е. р € Ьд. Предложение доказано.
Обозначим через [51]23 подгруппу, состоящую из нормированных характеров, в группе Яот(Г, С*). Нам потребуются теорема Фаркаша - Кра и некоторые ее следствия.
Теорема 1.2.5. ([52, с. 130]). Для любого р € Дот(Г, С*) существует и единственно представление в виде р = ро- р1, где ро € [Д1]2^ ,/эх 6 Ьд.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим р{Аф) — ехр{вк + € И,
р{Вф) — ехр(ик + 1уф),щ,Ук £ К, к = 1,..Построим несущественный характер р такой, что |/Эх(Т)| = р(Т),Т € Г. Выберем константы Ск = &к + гРк, ак, Рк £ Я, & — 1 д, из представления несущественного характера р{Ак) = ехрск, р{Вк) = ехр{0.с)к, (ПсД = следующим