Кратчайшие сети в банаховых пространствах

• Автор: Беднов, Борислав Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Содержание
Введение

Глава I. Кратчайшие сети и минимальные заполнения

§1. Существование кратчайших сетей

§2. Пространства со свойством 3.2.1.Р

§3. Пространства, реализующие минимальные заполнения

Глава II. Сети типа звезды

§1. Минимальные заполнения типа звезды

§2. Характеризация пространства Ь в терминах точек Штейнера

§3. Точки Штейнера в пространстве С

§4. Некоторые дополнения

Глава III. N—антипроксиминальные множества
§1. Вспомогательные результаты
§2. Пространства С
§3. Пространства Ь-[
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена вопросам геометрии банаховых пространств, связанным с понятиями кратчайшей сети, минимального заполнения, точек Штейнера (и соответствующих им кратчайших сетей типа звезды) для конечных подмножеств этих пространств. В работе исследуются существование кратчайшей сети, существование и единственность точки Штейнера, реализуемость минимальных заполнений и минимальных заполнений типа звезды в общих банаховых и конкретных функциональных пространствах, а также существование элемента паилучшего га—приближения.
Пусть (Х,р) — метрическое пространство и О = (У,Е) — связный граф со множеством вершин V и множеством ребер Е. Отображение Г : V —> X называется сетью в X, параметризованной графом (7, или сетью типа С. Вершинами сети Г называются точки Г(г>), V £ V, ребрами сети Г называются пары Г(т), Г(га) при условии, что пара V, гс соединена ребром в графе (7. Длиной ребра Г(н)Г(ш) называется число р(Г(у), Г(го)), а длиной |Г| сети Г — сумма длин всех ее ребер. Если М с X — конечное множество и М с Г( V), то говорят, что сеть Г соединяет (или затягивает) множество М. Множество М называется границей сети Г.
Число
|зпЩ|(М, X) = ш£{|Г| : сеть Г соединяет М} называется длиной кратчайшей сети для М в X, а
втДМ, X) = {Г : Г— сеть вX, соединяющая М, |Г| = [эпйДМ, X)}
есть (возможно, пустое) множество кратчайших сетей для М в X.
Теория кратчайших сетей (и более общо, экстремальных сетей) составляет обширную область метрической геометрии. Теорией кратчайших сетей инте-
ресовался Гаусс: в письме к Шумахеру [42] он задал вопрос о том, как построить кратчайшую систему дорог, соединяющих четыре города. Общая задача о поиске кратчайшей сети (то есть связного графа минимальной длины), соединяющей заданное конечное множество точек плоскости, была поставлена Ярником и Кесслером [48] в 1934 году. В книге Куранта и Роббинса [18] эта задача называется проблемой Штейнера. Сейчас теория экстремальных сетей в метрических пространствах развивается в нашей стране благодаря исследованиям, в основном, А.О. Иванова, A.A. Тужилина и их учеников. Наиболее полно теория кратчайших сетей изложена в работах [31], [46], [47], [12].
Типы связных графов, задающих кратчайшие сети, удовлетворяют достаточно жестким условиям, сформулированным в следующей хорошо известной лемме.
ЛЕММА А. Пусть Мп — п-точечное множество в метрическом пространстве X. При поиске графа, параметризующего кратчайшую сеть Г € smt(M„, X), достаточно рассматривать деревья, которые имеют не более п — 2 дополнительных (отличных от прообразов точек из Мп) вершин, причем каждая из этих дополнительных вершин имеет степень не меньше 3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сеть Г, соединяющую Мп в X. Пусть в графе G = {V, Е), параметризующем Г, есть цикл. Рассмотрим граф G', полученный из G удалением произвольного ребра из этого цикла. Множество вершин и связность G' — как у G. Тогда сеть Г', параметризованная графом G', соединяет Мп и имеет длину меньше длины Г.
Рассмотрим дополнительную вершину t G V. Если степень её равна 1, то построим граф G' из G удалением вершины t и соответствующего ей ребра. Длина Г' также меньше длины Г. Если же степень дополнительной вершины t равна 2, то из G удалим t с соответствующими ей двумя рёбрами txi, tx-
х+, что x+ > 0, x+ E m[О, ж] и
||x+|| = sup{||u[| : и > 0,u e m[0,x]} =: p(x).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем два элемента u,v Е т[0,х], и > 0, v > 0. Пусть w = st(x, u+v, 0). Имеем w G т[0, х] и w > 0 (поскольку w Е т[0, u+v] и и + v > 0).
Пусть w' = st(х, u + v, и). Докажем, что w = w'.
Во-первых, w' Е т[х, и + v в силу своего определения.
Во-вторых,
Ill'll + Цл;' — а:|| = |N'|| + ||х - «|| — ||« - w'\ = ||y/|| + ||х|| - ||«|| - ||и — и>'\
< ||г«'|| + |N| - ||ад'|| = N||,
откуда к/ G m[0, х].
В-третьих, из w' G т[и, и + v] и и £ т[0, u + v] следует w' G т[0, u + v]. Итак, w' G m[x,u + v]f)m[0. х]Пт[0, u+v], то есть w' = st{Q,u + v, х) = w (именно здесь используется единственность точки Штейнера).
Из доказанного равенства w = w1 следует, что w G т[и, и + и], откуда w >и.
Аналогично доказывается, что w > v.
Таким образом, w G т[0, sc], w > 0, w > и, w > v. Следовательно,
11« - «|| < IN - w|| + in - «Ц = INI! ~ ll«ll + INII— IMI ^ 2p(x) - |NII - IMI-
Это неравенство показывает, что всякая последовательность ип £ X со свойствами ип > 0, ип G т[0,х], ||«„|| -+ р(х) фундаментальна и сходится к
искомому элементу х+.
Лемма доказана.