Свойства оптимальных траекторий дифференциальных включений

• Автор: Садыгов, Мисраддин Аллахверди Оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 117 c. : ил

ГЛАВА I. О ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ, ЗАДАННЫХ В

ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

§ 1.1 Обозначения и постановка задачи

§1.2 Связь между Р* и р*

§ 1.3 О субдифференцируемости интегральных:

функционалов

§ 1.4 О двойственности терминального функционала

§ 1.5 Об обобщенной задаче Вольца

§ 1.6 О необходимых и достаточных условиях минимума для дифференциальных включений

Глава II. ВЫПУКЛАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ

ЗАДАЧА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 2.1 О сопряженных отображениях
§ 2.2 Выпуклая.динамическая экстремальная
задача
§2.3 0 некоторых необходимых условиях минимума для дифференциальных включений
Глава III. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ . НЕГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 3.1 Об одном.обобщении понятия субдифференциала
§ 3.2 Необходимые и. достаточные условия экстремума для негладких функций
§ 3.3 В невыпуклом случае о необходимых и достаточных. условиях минимума.для.дифференциальных включений
§ 3.4 Задачи с бесконечным временем
ЛИТЕРАТУРА

Побудительной причиной современного развития общей теории необходимых условий экстремума было создание математической теории оптимального управления, нашедшее свое первое законченное изложение в монографии ее создателей Л.С.Понтрягина, В.Г.Болтян-ского, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко [47].
В настоящее время получено много общих схем получения необходимых условий экстрев/ума. Различные общие схемы получения необходимых условий экстремума были развиты В.Г.Болтянским [в], Р.В.Гамкрелидзе и Л.В.Харатишвили [ю], А.Я.Дубовицким и A.A.Милютиным [20], Л.Нойштадтом [4б] и др.
В этой работе исследуется двойственность и субдифференцируемость выпуклого функционала, заданного на пространстве Соболева, изучаются некоторые свойства выпуклых многозначных отображений, получены необходимые и достаточные условия экстремума для негладких функций. Полученные результаты применяются в экстремальных задачах для дифференциальных включений.
Экстремальные задачи для дифференциальных включений позволяют охватить многие из рассмотренных задач оптимального управления. Для этих задач получены глубокие результаты Б.Н.Пшеничным [51, 53^ и Ф.Кларком [28,3l] . Эти задачи также рассмотрены в работах В.В.Береснева [4], В.И.Благодатских[5,б] , В.Г.Болтян-ского [в] , Р.П.Федоренко [бв] и др.
Основания общей теории выпуклых множеств и функций были заложены в начале века главным образом Минковским [41,42]. Теория выпуклых функций и множеств подробно описана в многочисленных публикациях. Сошлемся на книги Е.Г.Гольштейна[12], А.Д.Иоффе и

В.М.Тихомирова[2б], Р.Т.Рокафеллара[б7], Б.Н.Пшеничного[бз]
Пусть X “ вещественное локально-выпуклое отделимое пространство, X - топологическое сопряженное пространство и выпуклая функция на X 00 значениями в я=1?ин>) (т.е. вещественная прямая с присоединенной точкой + 050 ).
Преобразованием Юнга-Фенхеля функции -[ или функцией сопряженной с , называется функция на X . определенная равенством
|*(0С*)=5ир .

Понятие выпуклой сопряженной функции восходит к Фенхелю [б9,?о] . Первоначально Фенхель изучал лишь конечные функции, определенные на подмножествах. Моро стал изучать функции, принимающие бесконечные значения и определенные на всем пространстве.
Субдифференциалом функции в точке называется
множество
^)={ =={(х)-{(х,) 7 Уос^х)
Начиная с работ Моро[43,44] и Дубовицкого-Милгатина [йо] , в которых субдифференциалы впервые стали объектом систематического изучения, эта тематика интенсивно разрабатывалась многими авторами. Многие работы Рокафеллара (см.напр.[54,55,58]) посвящены субдифференцируемости выпуклых функций. Субдифференцируемость и двойственность выпуклых функций хорошо отражены в монографиях Р.Т.Рокафеллара[57], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова[2б] , И.Экланда и Р.Темама[2х], Б.Н.Пшеничного[бз] . О субдифференци—

в) существует такая суммируемая функция К(±) , что
рх(а(*,зс) ,а(*,зс')) ^ «*)|х-зс'| (1.6.5)
где Р - хаусдорфово расстояние. Пусть
• л
ш-х,±и1, п-1± (1.6.6)
где функция Р60 суммируема.
Тогда существует такое решение Х(±) задачи Х(ь)^0С(±^Х(-ь)) ХСо)-Х0 , что
|эса)-у(*>|^"5(+) ? хь)-чсь)±т1с*)+ш) п-и (1.6.7) -](0=кт(*+|1*ет<*)_тйРС5)А| , тй)=| &аЖ 0.6.8)
при таких ££[о,Т] , что "^(•£)■£&
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим последовательность Х^Ь) (1=1^-.•)
х,(*) = уа) , я. (*) = эсв + 11;;(0«/$ 1=012 ... (1.6.9)
7 4-+1 р *■ 7
где 1^(0 есть такая измеримая вектор-функция, что при почти всех: £
В силу теоремы I ([?], стр.77) и теоремы 2 (.[7], стр.58) функция ) существует. Она суммируема, так как Х^-'О^С'Ь) €