Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов

• Автор: Фазуллин, Зиганур Юсупович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 185 с.

Содержание
Введение

1 Неядерные возмущения абстрактных дискретных операторов

и формулы следов

1.1 Основная теорема о возмущениях

1.2 Формулы следов для возмущений

Гильберта-Шмидта

1.3 Формулы следов для относительно компактных

возмущений
1.4 Примеры

2. Спектральные свойства возмущения оператора

Лапласа-Бельтрами
2.1 Асимптотика собственных чисел возмущения
оператора Лапласа-Бельтрами на сфере 5"“
2.2 Формула следов возмущения оператора
Лапласа-Бельтрами
3 Регуляризованный след двумерного гармонического
осциллятора
3.1 Локализация спектра
3.2 Сумма третьей поправки теории возмущений
3.3 Асимптотическое представление Рп (х,у)
3.4 Асимптотика ядра Вп (х,у)
3.5 Асимптотика второй поправки
теории возмущений
3.6 Формула следов
Список литературы
Введение
Настоящая работа посвящена исследованию регуляризованных следов абстрактных дискретных операторов, а также исследованиям спектра и формул следов возмущений некоторых операторов в частных производных математической физики: оператора Лапласа-Бельтрами и двумерного гармонического осциллятора.
Теория следов линейных операторов берет свое начало с одного из фундаментальных фактов конечномерной теории: инвариантности матричного следа линейного оператора Ь и совпадения его со спектральным следом:
.V N N
= Едь (°л)
к=1 к=1 к
где {Ад,} - собственные числа оператора Ь, а {/к}=и {ЯкЕ» ~ Два произвольных базиса пространства.
Далее этот результат был перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом, иначе называемых ядерными, а именно доказано (см. [34]), если Ь ядерный оператор, то для любой пары
ортонормированных базисов справедливо

Ё(а/*,л) = Е-'0*), (°-2)
к=1 к
и также верно равенство

Е*’ Як) = Е РЬ (°-3)
к=1 к-А

где {к} ~ собственные числа оператора Ь. известное как теорема В.Б. Лидского ( [18], [36]). Таким образом, этими результатами классическая теория была завершена, так как они охватывают весь класс операторов, имеющих след.
Дальнейшее, развитие теории следов привело к рассмотрению понятия инвариантности следа па операторы, не имеющие следа, которое начато в цикле работ И.М. Лифшица, завершенном работой |39], мотивировано некоторыми вопросами квантовой статистики и теории кристаллов.
Так как для неядерных операторов Ь ряд из матричных элементов расходится, из теории расходящихся рядов естественно следует следующая постановка:
указать класс операторов и соответствующую пару базисов {у/-}ь=1 'таких, что будет справедлив аналог равенства (0.2) - соотношение
Для дискретных операторов выбор одного базиса естественно предопределяется спектральной постановкой (0.3), то есть выбирается базис из собственных векторов {.щД оператора Ь, конечно, в предположении его существования. Для подбора второго базиса оператор Ь представляется в виде суммы Ь — Ьо + У, причем оператор V в каком-то смысле подчинен оператору Ьо; второй базис строится из собственных векторов {/дДі оператора До- Тогда формула (0.4) приобретает

(0.4)

принадлежат постановка, задали и идея доказательства результата о локализации спектра, остальные результаты этих работ принадлежат автору диссертации. Все результаты данной диссертации принадлежат диссертанту.