Трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге

• Автор: Алексеенков, Владимир Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Смоленск
• Количество страниц: 116 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Основные обозначения и понятия

1.2. Вспомогательная краевая задача в классах аналитических функций

1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций
ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ

2.1. Постановка основных трёхэлементных краевых задач типа Римана

в классах метааналитических функций

2.2. Решение и исследование картины разрешимости задачи С77?1М

в классах метааналитических функций первого типа в круговой области

2.3. О некоторых частных случаях задачи (37?, м в классах
метааналитических функций первого типа, допускающие решение в замкнутой форме
2.4. Решение и исследование картины разрешимости задачи <ЗД2М
в классах метааналитических функций первого типа в круге
ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВТОРОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ
3.1. Решение задачи 67?, м в классах метааналитических функций
второго типа в круговой области
3.2. Исследование картины разрешимости задачи 67?, м в классах
метааналитических функций второго типа
3.3. Об одном частном случае задачи 6Й1И в классах
метааналитических функций второго типа, допускающем эффективное решение
3.4. Метод решения и исследование картины разрешимости задачи 6Т?2М в классах метааналитических функций второго типа
в круговой области
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
В современной теории функций комплексного переменного одной из важнейших областей исследований является теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и их различных обобщений.
В настоящее время теория краевых (граничных) задач в классах аналитиче-
ских функций, т.е. решений уравнения Коши-Римана = 0, благодаря

фундаментальным работам JI.A. Аксентьева [4], Б.В. Боярского [22], И.Н. Векуа [24], Н.П. Векуа [26], Ф.Д. Гахова [29], Э.И. Зверовича [34], P.C. Исаханова [35]-[36], Д.А. Квеселава [38], Г.Ф. Манджавидзе [47], Л.Г. Михайлова [51], Г.С. Михлина [52], Н.И. Мусхелишвили [54], Л.И. Чибриковой [76] и многих других известных математиков, приняла уже завершенный вид.
Однако, для решения некоторых прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Поэтому при постановке задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. Исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров; рассматриваются различные задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомой; граничные задачи в классах различных обобщений аналитических функций и т.д.
Так, например, в последнее время, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) наблюдается интерес к краевым задачам в классах функций, являющихся различными обобщениями класса аналитических функций комплексного переменного (например, полианалитических, метааналитических, регулярных решений так называемого уравнения Бауэра-Пешля и т.д.) [21], [44], [47], [57]-[65], [67]-[68], [73]-[74], [79], [84]-[85]. В частности это явление обусловлено тем, что, как было обнаружено Г.В. Колосовым [39], эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить так называемые бианалитические функции,
т.е. решения дифференциального уравнения - = 0. Кроме того, теория

краевых задач для различных обобщений аналитических функций тесно связана с теорией дифференциальных уравнений [17], [77], теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [24] и другими разделами современной математики и механики [1]-[2], [25], [37], [40], [43], [45], [53], [56]-[57], [66], [73], [78], [87].
Большой вклад в развитие указанного направления внесли В.М. Адуков [1]-[2], И.А. Бикчантаев [19], A.B. Бицадзе [20], В.А. Габринович [27], М.П. Ганин [28], Ф.Д. Гахов [29], В.И. Жегалов [32]-[33], K.M. Расулов [57]-[61], B.C. Рогожин [67], P.C. Сакс [68], И.А. Соколов [71]-[72], М. Canak [80]-[81], В. Damjanovich [82]-[83], C.R. Shoe [86] и др.
Данная диссертация посвящена исследованию трёхэлементных1 линейных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге, т.е. в классах функций, являющихся решениями дифференциального уравнения вида

dz'1 1 dz где а1:, о, - некоторые комплексные числа.
5 F-~ + aldF + a()F{z) = Q, (0.1)
Пусть Т+ = {г : г<1} - единичный круг на плоскости комплексного переменного г = х + іу. Обозначим границу круга Т+ через Ь, а область, дополняющую замкнутый круг Т { и і до расширенной комплексной плоскости - через Т~.
Задача СД1М.
Требуется найти все кусочно метааналитические функции Г’(г) = {+(2),-(г)} класса1 М2(Г±)пЯ(1)()1 исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Г = {/: | ґ | = 1} граничным условиям:
1 Краевые задачи комплексного анализа называются трёхэлементными, если их краевые условия содержат три различных элемента (граничных значений) неизвестных функций (более подробно см., например, [46], с. 220.)
2 Определение класса М2{Т±)гНтЩ см. нас. 18-19.
1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций
Первой работой, относящейся к краевым задачам в классах бианалитиче-ских функций, была, по-видимому, статья B.C. Рогожина [67], в которой рассматривалась задача типа Гильберта в случае круговой области.
Вскоре после этого, в начале 50-х годов XX века, были опубликованы работы М.П. Ганина [28], а чуть позже, в 60-х годах, работы И.А. Соколова [71]-[72], в которых впервые были сформулированы основные краевые задачи типа Гильберта и типа Римана в классах полианалитических функций (т.е. решений
Г1/
уравнения

что решения рассматриваемых в них краевых задач сводятся к последовательному решению п обычных скалярных задач Гильберта или Римана соответственно в классах аналитических функций. Этот результат есть следствие того, что исследуемые ими краевые задачи являются задачами так называемого треугольного вида (см. [57], с. 19).
Теория классических краевых задач типа Римана, Гильберта, Карлемана, Маркушевича в классах полианалитических и метааналитических функций и их обобщений стала наиболее интенсивно развиваться в течение последних тридцати лет благодаря работам математиков России, Украины, Беларуси, Грузии, Таджикистана, Югославии, Германии, Китая и др. Большой вклад в это направление внесли И.А. Бикчантаев [19], В.А. Габринович [27], Ф.Д. Гахов [29], В.И. Жегалов [32], K.M. Расулов [57], P.C. Сакс [68], М. Canak [81], В. Damjanovich [83], C.R. Shoe [86] и др.
Также изучению классических и неклассических краевых задач в классах метааналитических функций посвящены работы Б.Ф. Фатулаева [75] и
В.В. Сенчилова [70].
Однако отметим, что в большинстве из указанных выше работ рассматриваются так называемые двухэлементные краевые задачи (см., например, [46], с. 220).
Решению многоэлементных краевых задач со сдвигом и сопряжением в классах бианалитических и полианалитических функций посвящены также ра-