Некоторые интегральные характеристики уровней гладких отображений

• Автор: Гулевич, Сергей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Калинин
• Количество страниц: 81 c. : ил

Предварительные сведения и обозначения
Глава I. £ -выпуклые области
§1. £ -прямые пути и £ -выпуклые области
§2. Разрезание ограниченной области цилиндрической
поверхностью
§3. Многочлены и результанты
§4. Доказательство теоремы
Глава 2. Полиномиальные отображения
§1. Окрестность регулярного уровня
§2, Некоторые множества в пространствах многочленов
§3. Доказательство теоремы
§4. Образ алгебраической области при полиномиальном отображении
Глава 3. Некоторые сведения из линейной алгебры
§1.Углы между плоскостями в конечномерном пространстве
§2. Якобианы отображений, действующих между пространствами разных размерностей
§3.Некоторые свойства линейно независимых систем векторов
в конечномерном эвклидовом пространстве
§4. Некоторые оценки снизу значений линейных отображений
Глава 4. Доказательство основной теоремы
§1. Три вспомогательных леммы
§2. Доказательство теоремы
Глава 5. Другие результаты
§1. Случай %
§2. Интегрирование площади сферического отображения
уровня гладкой функции
§3. Отображения из ЯЛ в ЯЛ
§4. Пример
Литература

Индикатрисой Банаха числовой функции | называется функция /'/(?,-) , значение которой в точке ^ равняется числу корней
уравнения £(х)- ^ . Известная теорема Банаха об индикатрисе утверждает, что если £ - непрерывная функция, то
+ с*=>
цце - вариация функции £ . В частности, если £ - непрерывно дифференцируема на и имеет компактный носитель, то
Легко доказать, что для любого р>/1 и для любой функции класса (]/ с компактным носителем справедливо неравенство:
Д|'/Н$)]РЛ.(У < (2)
Понятие индикатрисы можно обобщить. Именно, если отображение ^ действует из Я в (I , то через обозначим число
компонент связности уровня Е((^)г £0*)"^ • Заметим, что
при гь= К, и регулярном значении число компонент связности уровня Е (^) совпадает с числом решений уравнения .
Возникает вопрос о том, можно ли обеспечить выполнение неравенств

(I) и (2) требованием £ £ С на отображение I с компактным носителем. Введём в связи с этим следующее обозначение. Пусть <| -натуральное число, ^£(_о,13 »И и^> -положительные числа. Будем говорить, что отображение -£ принадлежит классу

|Д - Л 3 61^) = ^*|Л Ч;|
СбЬг С£бг Ч Чвзг 1 ’
откуда по лемме 3.1.1 следует неравенство (13).
Докажем неравенство (15). Из неравенств (5) и (16) следует, что £>(к/г,д) сЦч *4 2.^(^г) с1^'к <: гса оС(^)
Сравнивая с неравенством (12), получим неравенство (15). Теорема доказана.
§4. Некоторые оценки снизу значений линейных отображений.
Лемма 3.4.1. Пусть /± и !^ - эвклидовы пространства размерностей »гик. соответственно, ^: /1 -линейный оператор. Тогда
1. Если кь £ к. , то при любом хо / справедливо неравенство |х|Мч < (^(х) | Ц) а''1 .
2. Если »г ^ к. , то при любом эс е ^/г справедливо неравенство (х) а £ I с^(хМ 11$ II10
Здесь через 4* обозначено пространство, сопряжённое к /г
Доказательство: в пространстве Д. выберем ортонормирован-ный базис 2.^) • ■ • > в котором 6.1 - ^ . Тогда
= 1* 1 $се±) д.-• а д(ел)|
* 1*1 |3М•.• |^е„1| < 1*1„^
Первое утверждение доказано. Применив его к линейному оператору д* : у * -» V* » получим, что |*1 ^ |^(х)| ||£*||*
при любом Хб/г *