Некоторые свойства предельных множеств фуксовых групп

• Автор: Семенова, Ольга Львовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 108 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Предварительные сведения - обзор полученных
ранее результатов
ГЛАВА И. Геометрия образов фундаментальных многоугольников под действием наборов ДГ
ГЛАВА III. Пористость предельного множества в случае
группы без параболических элементов
ГЛАВА IV. Некоторые геометрические особенности группы,
содержащей параболические элементы
ГЛАВА V. Свойства наборов Агсп
ГЛАВА VI. Оценки интегралов функции 1од(сИзЦх,А))
ВВЕДЕНИЕ
Основная цель диссертации это доказательство утверждения о принадлежности классу ВМО функции логарифм расстояния до предельного множества для произвольной конечно порожденной фуксовой группы второго рода.
Теория фуксовых групп - важнейшей разновидности клейновых групп (групп мебиусовых преобразований расширенной комплексной плоскости, действующих разрывно в некотором непустом открытом множестве) имеет приложения, в различных областях математики -теории функции комплексного переменного, топологии, геометрии, теории дифференциальных уравнений и теории чисел.
Фуксовой группой называется клейнова группа, сохраняющая некоторый круг расширенной комплексной плоскости. Всякая фуксова группа является группой изометрий гиперболической плоскости. Стоит отметить факт существования тесной связи между фуксовыми группами и римановыми поверхностями.
Хотя основания теории фуксовых групп были заложены еще в девятнадцатом веке (главным образом, в работах Ф. Клейна и А. Пуанкаре), интерес к этой тематике продолжает проявляться по сей день - с развитием новых методов топологии, геометрии и теории конформных преобразований возникают новые задачи, связанные с фуксовыми группами. В последние десятилетия исследованием фуксовых групп занимались А.Марден, А.Бердон, Т.Йоргенсен, Б.Маскит, Л.Гринберг, Б.Апанасов, С.Крушкаль и др.
Предельным множеством произвольной фуксовой группы называется множество дополнительное к регулярной области группы. В настоящее время имеется ряд результатов, касающихся свойств предельного множества фуксовых групп второго рода (фуксова группа относится ко второму роду, если ее предельное множество не совпадает с ее инвариантной окружностью). Известно, что предельное множество представляет собой нигде не плотное подмножество инвариантной окружности. Если группа является
конечно порожденной, то предельное множество имеет нулевую лебегову меру на инвариантной окружности; предельное множество бесконечно порожденной группы может иметь положительную меру Лебега. Как показано X. Поммеренке, предельное множество любой конечно порожденной фуксовой группы второго рода обладает свойствам Карлесона, выражающимся в том, что функция логарифм расстояния до предельного множества такой группы является суммируемой по Лебегу.
Если фуксова группа не является элементарной, иначе говоря, если её предельное множество содержит более двух точек, то предельное множество этой группы представляет собой континуум, и “достаточно велико” (даже для конечно порожденной группы), если подходить к понятию “малости” множества с некоторых других точек зрения: в работе [26] П.Мирберг показал, что предельное множество любой неэлементарной фуксовой группы имеет положительную логарифмическую ёмкость; А.Бердон ([13] - [16]) установил, что хаусдорфова размерность этого множества есть положительное число, меньшее единицы, причем, если группа содержит параболические элементы, то хаусдорфова размерность больше одной второй.
На основании этих данных представлялось интересным исследовать вопрос о “регулярности” строения предельного множества - в работе [10] Н. А. Широкова было сформулировано утверждение о том, что функция логарифм расстояния до предельного множества имеет ограниченную осцилляцию, говоря иначе, является элементом класса ВМО. В этой же работе приведены примеры применения данного утверждения: для построения Г-автоморфных форм отрицательного веса и максимальной возможной гладкости, а также для доказательства теоремы Бердона о принадлежности функции расстояние до предельного множества конечно порожденной фуксовой группы второго рода классу I/ при некотором р, меньшем единицы (зависящем от группы). Однако доказательство принадлежности функции log(dist (х,Л)) классу ВМО не было приведено.
области существует окрестность V этой точки относительно множества О П А такая, что для каждого элемента И. группы С, удволетворяющего условию Н(Р) П V * 0, точка х является -образом. Лемма доказана.
Приступим теперь к доказательству леммы 2.5.
До конца леммы зафиксируем следующие обозначения: В} = д} (Р) для у=1,2; В = Вх и В2 и В силу леммы 2.4 множество В
является связным регулярным замкнутым множеством. Заметим, что, поскольку концевые точки дуги I являются точками множества В, для любой компоненты и дополнения ко множеству В в замкнутом единичном круге должно выполняться только одно из следующих двух условий:
(агу)ПТс/, (2.4)
либо (5С/)П/ = 0. Кроме того, в силу регулярной замкнутости множеств Рп, доказанной в лемме 2.4, выполняется условие
(5!7)ПАсаВ. (2.5)
(I). Если 1В = 0, то есть I с д1(Р)[] д2(Р)и Рп-17 то> поскольку предельное множество в силу теоремы 1.7 является нигде не плотным подмножеством единичной окружности, а дуга I предполагается невырожденной, в этом случае должно выполняться условие 0 Ф 1Г|(