Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве

• Автор: Ключев, Вячеслав Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Йошкар-Ола
• Количество страниц: 127 с.

Содержание
Введение
1 Скорость сходимости
методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений
в гильбертовом пространстве
1.1 Классы методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений
в гильбертовом пространстве
1.2 Прямые и обратные теоремы
для итерационных методов решения
нерегулярных линейных операторных уравнений
в гильбертовом пространстве
1.3 Прямые и обратные теоремы
для класса методов аппроксимации решений нерегулярных нелинейных операторных
уравнений в гильбертовом пространстве
1.4 Обсуждение результатов главы
2 Необходимые и достаточные
условия квалифицированной сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений
в банаховом пространстве
2.1 Класс методов аппроксимации решений нерегулярных уравнений
в банаховом пространстве
2.2 Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов решения
линейных уравнений в банаховом пространстве
2.3 Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов решения
нелинейных уравнений в банаховом пространстве
2.4 Задача Коши для линейного операторного
дифференциального уравнения первого порядка
2.5 Логарифмическая сходимость методов аппроксимации решения некорректной
задачи Коши в банаховом пространстве

2.6 Обратная теорема для класса методов аппроксимации решения некорректной
задачи Коши в банаховом пространстве
2.7 Реализация условий истокопредставимости
2.8 Обсуждение результатов главы
3 Необходимые и достаточные
условия квалифицированной сходимости класса конечно-разностных методов аппроксимации решения некорректной
задачи Коши в банаховом пространстве
3.1 Класс конечно-разностных методов аппроксимации решения некорректной
задачи Коши в банаховом пространстве
3.2 Оценка скорости сходимости конечно-разностных
методов аппроксимации решения задачи Коши
3.3 Необходимые условия сходимости класса конечно-разностных методов
аппроксимации решения задачи Коши
3.4 Обсуждение результатов главы
Заключение
Литература

Введение
В работе исследуются итерационные схемы аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве. Пусть X : Х —> Х% — нелинейный оператор, Аф Х<± — вещественные или комплексные гильбертовы или банаховы пространства. Рассмотрим уравнение
Х(ж) = 0, х Е Х. (1)
Считаем, что уравнение (1) имеет по крайней мере одно решение х*. Предполагается, что оператор X является дифференцируемым по Фреше в окрестности точки х*, а его производная Р'(х) в этой окрестности удовлетворяет условию Липшица. Важнейшей качественной характеристикой уравнения (1), определяющей выбор методов численной аппроксимации х*, является регулярность данного уравнения. На протяжении работы регулярность задачи (1) и соответствующего оператора С понимается в смысле следующего определения (см., например, [16]).
Определение 1. Уравнение (1) (оператор Р) называется регулярным в окрестности решения х*, если для всех точек х из этой окрестности оператор Р'(х): Х —> Х имеет непрерывный обратный, определенный на всем пространстве Х2. В противном случае уравнение (1) (оператор Р) называется нерегулярным.
Типичным примером нерегулярного оператора является оператор Н, производная которого П'(ж) вполне непрерывна для всех х из некоторой окрестности точки X*.
К теоретическому и численному анализу нерегулярных операторных уравнений в последние десятилетия проявляется растущий интерес специалистов различных направлений. Он объясняется тем, что к такого рода уравнениям сводится широкий спектр обратных задач математической физики и неустойчивых задач классического анализа [74],[62],[27],
[22], [70], [72], [87], [89], [90], [94], [96].
Входные данные при решении прикладных обратных задач обычно бывают осложнены погрешностями 'измерений. В этих условиях нерегулярность уравнения (1) приводит к некорректности данного уравнения в смысле Адамара. Как следствие, традиционные численные методы оказываются малопригодными для аппроксимации решений нерегулярных уравнений (1). В теории некорректных задач разработан общий способ преодоления подобных трудностей. Он сводится к применению методов регуляризации, которые позволяют по данному приближенному оператору Р7 задачи (1) и уровню погрешности аппроксимации <5 эффективно строить приближения к решению х* уравнения (1), сходящиеся к х* при <5 —>- 0. Методам регу-

< C9|H| exp( кJр/oin). (19)
Объединяя (8), (16)—(19), приходим к следующей промежуточной оценке
lkn+i - *11 - **||2+
2V®n (20)
Ч-СэПг»!! exp(~ку/р/ап) + CqC7L\v\\хп - х*\.
Ниже будем предполагать, что последовательность {ап} такова, что
0 < ап+1 < ап, п £ N0; lim ап = 0, (21)
n—toО
sup (an+i~1/2 — ап~1/2) = г < оо. (22)
neNo v '
Требования (21), (22) выполняются, например, для последовательности Oin — «о( + l)_s, п G No, где йо > 0, s £ (0,2]. Оценку скорости сходимости приближений (3) к решению х* уравнения (2) устанавливает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть оператор F обладает свойством (1), выполняются условие 2.1, условия 1 - 3 и соотношения (21), (22), а начальное приближение жо достаточно близко к х*, так что
||®о - *11 < lexp(-k/p/aQ). (23)
Предположим, что имеет место истокообразное представление (6) и существуют постоянные Cg-Cg, такие что
0 < 1 < ™*{3CJlkryR*MkV¥h«)}, (24)
II» IK d= mi„{ —> з ) (25)
Тогда выполняется оценка
\хп ~ **|| 1ехр(-к-/р/ап) Уп е М0, (26)
где постоянная к > 0 зависит только от порождающей функции 0.
Доказательство. Оценим выражение в правой части (20), считая выполненной оценку (26) для номера п = т 1:
||*ш+1 - ®*|| < 7Г7=\хт ~ х*\2 + С9|М| ехр(-кр/ат)+