Неравенства для рациональных функций

• Автор: Данченко, Владимир Ильич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 c. : ил

ЗБЕДЕНЙЕ
ПЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ОТ ОБРАЗКЕ НИЙ
§ 1*1. Основные определения
§ 1.2. Некоторые свойства подобластей Грина
§ 1.3. Теорема о покрытии подобластями Грина
§ 1.4. Интегральные оценки ядер Коши
7ЛАВА 2. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 2.1. Основные определения
§ 2.2. Допустимые классы кривых
§ 2.3. Оценки производных рациональных составляющих
на произвольных континуумах
§ 2.4. Континуумы типа ЬЕ « Оценки производных
рациональных составляющих на континуумах
типа БЕ
§ 2.5* Оценки вариаций рациональных функций на
рационально спрямляемых кривых
§ 2.6. Интегральные оценки производных рациональных
функций на континуумах положительной
площади
§ 2.7. Приложения
7ЛАВА 3. ОБ ОЦЕНКАХ НОРМ РАЦИОНАЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ МЕРОМОРШЫХ МКЦИЙ § 3.1. Оценки при разделении особенностей
произвольным континуумом
§ 3.2.. Приложения ЛИТЕРАТУРА
Экстремальные задачи на множестве рациональных функций (р.ф.) и неравенства между различными нормами р.ф. и их производных представляют одно из основных направлений исследований в теории аппроксимаций рациональными дробями.
В 1940 году А.Дж.Макинтайером и В.Г.Дж.Фуксом П] была рассмотрена задача об оценке логарифмической производной р.ф. на подмножествах комплексной плоскости. Систематическое изучение дифференциальных свойств р.ф. как аппарата приближения началось в 50-х, 60-х годах в работах
A.А.Гончара [2,3] и Е.П.Долженко [4*5] . В этих работах ;для получения так называемых обратных теорем теории
рациональных аппроксимаций был разработан ряд ноеых методов оценок производных р.ф. одной и нескольких вещественных переменных. Примечателен тот факт, что в отличие от производной многочлена производная р.ф. Л не может быть оценена во всех точках заданного (основного) множества ЕІ только через норму Л в ССсП и степень ТЯ . На подмножествах, сколь угодно близких по мере к основному множеству, точные неравенства для производных рациональных дробей были установлены Е.П.Долженко 16] (рассмотрены и вещественные,и комплексные р.ф.). На всем основном множестве (отрезок или прямая) экстремальные оценки производных дробей через мажорантные функции определенного вида были получены
B.С.Виденским [7] и В.Н.Русаком [23]

ющуюся из дури I1 после присоединения к последней двух лучей, выходящих из ее концевых точек. Очевидно, что (о Со)= = (напомним, что согСсО есть модуль непрерывности единичного вектора £' (>0 , направленного по
касательной к Г в точке %г ).
Пусть теперь Г € 1л . Разобьем Г на конечное число А/ незамкнутых жордановых дуг , выбрав
параметр гт^х Г;| разбиения настолько малым, что
для каждой линии Г-Сао'> будут иметь место свойства, приведенные ниже.
Фиксируем номер } и ПОЛОЖИМ у= Г1}*’'0.
Свойство 1. ^ %/ъ , Ь > о
Иэ свойства 1 следует, в частности,
Свойство 2. Любая окружность с центром, лежащим на у , пересекает У ровно в Двух точках.
Далее, пусть % - произвольная точка, не лежащая на
У * % - какая-либо ближайшая к % точка, лежащая
на у , = [е : С €■ У ,
Свойство 3. Любой луч, выходящий из % и проходящий через произвольную точку ^ € уУр пересекает у только в одной точке
Через , У^ обозначим линии, на которые
распадается множество $ , через с^Сс)) - наименьший положительный угол, образованный парой векторов
и С - % (С € У )
Свойство 4. Угол Ср СО изменяется монотонно при движении с? - вдоль У^ ( 3 = 1,2), соответствующем монотонному изменению натурального параметра А линии У . Так что полное изменение Уал (У% , У^3'* ) угла