Множества неединственности и их устойчивость в весовых алгебрах голоморфных функций

• Автор: Чередникова, Любовь Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 88 с.

1 Введение

1.1 Вспомогательные понятия, соглашения

и обсуждения

1.2 Формулировки основных результатов для круга

1.3 Иллюстрации основных результатов

для ограниченной области П

2 Доказательство теоремы

неединственности 1.1 для круга

2.1 Применение мер и функций Йенсена

2.2 Лемма сравнения

2.3 Доказательство теоремы неединственности 1

3 Меры и функции Йенсена и “гашение”
роста субгармонической функции
4 Вспомогательные понятия и результаты
4.1 Энтропия линейной связности
4.2 Элементарные оценки с расстоянием Харнака
4.3 Гармоническая мера, функция Грина,
выметание и оценки интегралов
4.4 Звезды подмножеств и выметание
4.5 Вспомогательные оценки интегралов
через расщепление мер
5 Подготовительная теорема для алгебр
6 Снова об энтропии линейной связности
6.1 Энтропия линейной связности
и семейства подмножеств
6.2 Энтропия линейной связности,
вздутия и звезды подмножеств
6.3 Энтропия линейной связности, диаметр
и сегментальная оболочка подмножества
6.4 Энтропия линейной связности
и системы положительных весов

7 Теоремы неединственности и
устойчивости для ограниченных областей
7.1 Теорема неединственности для алгебр,
задаваемых положительными весами
7.2 Теоремы устойчивости для последовательностей неединственности
7.3 Теоремы неединственности и устойчивости для классов функций в круге
с радиальной системой весов
Список литературы

1 Введение
Классический результат Р. Неванлинны о законченном описании множества нулей для алгебры Я°° ограниченных голоморфных функций в ч единичном круге D = {г Є С: |г| < 1} комплексной плоскости С и аналогичные результаты для классов Неванлинны и Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных в О функций. Не претендуя даже на минимально достаточный охват библиографии по этой очень обширной и богатой результатами тематике, сошлемся здесь лишь на обзоры С. В. Шведенко [1], А. Б. Александрова [2), X. Хеден-мальма [3], П. Колвела [4] и на наиболее близкие нам по типу рассматриваемых алгебр и пространств монографию А. Джрбашяна и Ф. А. Ша-мояна [5] и результаты законченного характера Ф. А. Шамояна [6], [7], существенно развившего исследования М. М. Джрбашяна, и Ч. Горовица [8] (алгебры функций умеренного “степенного'’ и быстрого роста), а также на работы Б. Коренблюма [9], Е. Веллера и Ч. Горовица [10), [11], К. Сейпа [13], [12], X. Вруны и X. Массанеды [14], Д. Льюкинга [15] (алгебры и пространства функций медленного “логарифмического” роста). Введения и списки литературы в этих работах могут дать представление о состоянии тематики до недавнего времени.
% Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек в единичном круге D или в ограниченной области П С С является подмножеством (подпоследовательностью) нулей для заданной алгебры голоморфных функций в D или в выделяемой ограничением на рост вблизи границы этой области через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант.
Всюду положительность числа, функции, меры и т. п. понимаем как ^ 0; аналогичное соглашение ^ 0 предлагается и для отрицательности. Если функция или отображение / на множестве А тождественно равна некоторому значению Ь, то пишем “/ = 6 на А”; в противном случае — “/ ф b на А”.
Последовательности точек А = {Ап} на Г2 всегда предполагаются не имеющими предельных точек в П, если не оговорено противное. Кроме того, к последовательностям точек А нам будет удобно добавлять также условную “последовательность”, состоящую из всех точек области Q, повторяющихся счетное число раз. Последнее обстоятельство связано с тем, что такую условную “последовательность” удобно и естественно рас-

— меры Рисса функций и^ и рх. Из оценки (4.15) предложения 4.5 ввиду (5.5(1) следует существование константы с, для которой
Применим предложение 4.5 к парам мер А(А:) и к = 1,2 Вторые
меры в паре играют ту же роль, что и меры в (4.36), (4.37), (4.38), и вместо функции р рассматривается функция врм с мерой Рисса 5^оо. В этом случае ввиду выполнения (5.5з) применимо предложения
4.5. Таким образом, из неравенства (4.39) вместе с (5.10) для любой меры Йенсена р е ./о(П) ПЛМ+(П) с потенциалом V), получаем
Применяя оценку (4.41) предложения 4.6 к последней скобке с функцией Роо вместо р, приходим к оценке
где Рос(О) ф —оо, так как 0 $ supp ц» ввиду отделенности семейства D от нуля.
Соотношение (5.11) означает, что выполнено условие (3.7) теоремы
3.2 с локально интегрируемой по т и р, как отмечалось в предложении
4.1, функцией А/(С) = cs9B^(i;)(C) 11 постоянной С = — cspoo(O).
Предположим пока, что функция г > 0, удовлетворяющая условию (5.3), непрерывна. По теореме 3.2 найдется функция hoc £ Я(П), hx ф. О, с которой выполнена оценка вида (5.4) при А — cs = 32i+1s, где с из (5.10), а именно:
+ log(l + l/t) + 9 1og(l + |z|) ^ AIHj^M)r(z)+Iog(l + l/t)
+ 9 log(l + |zj) , z£ П, 0 < t < dist(z, ЭП). (5.12)
SUp TDk(z, w) < 32f(S'4-Dk)+1 ^ з2,+! = c.
(5.10)
z,weSk
JnJ'D.i О
[ Vp dco ^ [ csJtf£,a(C)dp(C) - cspoo(O), (5.11)
Jn J a
(4.33b)