Нелинейные преобразования и слабая сходимость мер

• Автор: Колесников, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

Оглавление

Введение и краткое содержание диссертации

1 Нелинейные преобразования мер и параметризация Скорохода

1.1 Параметризация мер непрерывными отображениями

1.2 Параметризация мер борелевскими отображениями

1.2.1 Открытые отображения вероятностных мер

1.2.2 Параметризация Скорохода в метрических пространствах

1.2.3 Параметризация Скорохода в неметризуемых пространствах

2 Топологические свойства пространства Скорохода

2.1 Некоторые вспомогательные результаты

2.2 Связь пространств В (Е) и 2е

3 Нелинейные преобразования мер и геометрические неравенства
3.1 Характеризация диффузионных полугрупп,
сохраняющих логарифмически вогнутые функции
3.2 Другие классы функций
Список литературы

Введение и краткое содержание диссертации
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
Одно из центральных направлений теории меры, находящееся на стыке с теорией вероятностей и функциональным анализом, а также с топологией, — изучение слабой сходимости мер. Это направление органично связано и с исследованием преобразований мер — другой важной составляющей современной теории меры. Оба этих направления играют значительную роль и в приложениях.
В последнее десятилетие круг приложений, которые и раньше охватывали случайные процессы, динамические системы, статистическую физику, расширился в результате интенсивных исследований в теории нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейном стохастическом анализе.
Такое взаимодействие характерно уже для классических работ А.Д. Александрова [1], [2], Л.В. Канторовича [15], Ю.В. Прохорова [80], A.B. Скорохода [26], а впоследствии оно еще более усилилось.
Основные результаты диссертации связаны с исследованием нелинейных преобразований мер, позволяющих меры из заданных классов представлять в виде образов каких-либо простых мер (например лебеговской или гауссовской), причем требуется, чтобы это представление обладало некоторыми дополнительными свойствами. В качестве таких дополнительных свойств в диссертации выступают либо определенные свойства непрерывности, либо некоторые свойства инвариантности, связанные с функциональными неравенствами и экстремальными задачами.
В главе 1 исследуется параметризация пространства вероятностных мер на топологическом пространстве X отображениями из отрезка с мерой Лебега в это пространство. В классической работе A.B. Скорохода [26] было доказано, что для всякой последовательности вероятностных мер на полном сепарабельном метрическом пространстве X, слабо сходящейся к мере до> можно найти такие борелевские отображения £п, п = 0,1,..., из [0,1] в X, что —>

£о почти всюду и образ меры Лебега при отображении совпадает с при всех п = 0,1.... Эта теорема имеет многочисленные приложения.
Позднее Д. Блэкуэлл и Л. Дубине [35], а также К. Ферник [51] обобщили теорему Скорохода, показав, что такую параметризацию можно осуществить одновременно для всех вероятностных мер, а не только для одной фиксированной последовательности. Различные обобщения теорем Скорохода и Блэкуэлла и Дубинса были даны в работах [59], [86]. В работах [45], [66] был развит интересный подход, основанный на решении известной в теории оптимального управления задачи Монжа-Канторовича об оптимальном отображении мер (подробное изложение этой тематики дано в книге [81]). Выяснилось, что параметризующие отображения являются градиентами выпуклых функций. Отметим, что первые результаты в этом направлении были получены в работах В.Н. Судакова [27] и А.Д. Александрова [1], [2].
В работе введен и исследован класс топологических пространств, для которых справедливы аналоги теоремы Блэкуэлла-Дубинса. В частности с этой точки зрения рассмотрены многие важные для приложений локально выпуклые пространства. Исследована связь свойств Скорохода и Прохорова и построены примеры неметризуемых пространств, для которых имеет место полный аналог теоремы Блэкуэлла и Дубинса. Наконец, обнаружена связь с открытостью отображений пространств вероятностных мер. На этом пути дано новое, чисто топологическое доказательство теоремы о параметризации для универсально измеримых подмножеств полных сепарабельных метрических пространств. Точнее говоря, показано, что общий случай вытекает из непосредственно проверяемого случая мер на отрезке с помощью известных фактов топологии. Вопрос об этом ставился А.Н.Ширяевым.
Параметризации мер в случае метрических компактов, построенные в главе 1, принадлежат известному в теории вероятностей пространству Скорохода .ОДХ). В последнее время в теории случайных процессов все чаще возникают связанные с ним задачи. Важность таких пространств проистекает из того, что многие типичные марковские процессы, пространство состояний которых — топологическое пространство Е, имеют траектории из пространства Скорохода (см., например, [71], [49]). В связи с этим полезно было бы знать, какие топологические свойства, которыми обладает пространство Е, сохраняются также для пространства (Е). Отметим, что подобного рода вопросы возникают даже для числовых процессов, если в качестве фазового пространства брать не всю числовую ось К, а какие-либо борелевские или суслинские подмножества пространства И.
Пространство ЛДИ) было введено в упомянутой выше работе А.В. Скорохода. А.Н. Колмогоровым [16] было доказано, что ПДИ) — польское про-

— топологические вложения, упомянутые в замечании 1.2.18. Тогда отображение / = 1 о /* о Н сюръективно. Из рассуждений выше вытекает и его
открытость. Действительно, для меры д вида д = До<д-1 множества }У (д, ё) = (Л о £-1: ( £ их(<р, (5)} образуют базис окрестностей д в слабой топологии, а множество /(ИДд,(5)) содержит окрестность {Л о г;“1: и Е иу^ о <д, Д}, входящую, как показано выше, в дИДд, 5)). □
Замечание 1.2.20. Если X и У — польские пространства, то отображение /* в предыдущем предложении обладает непрерывным правым обратным д*. Достаточно положить д* = £ о д о гу, где £: Р(Х) -» Р°(А, X) — отображение из теоремы 1.2.14, д — непрерывное правое обратное для / и Д: Р°(А, К) —> Д(У), гу{-ф) = Л о -г/г1. Это можно извлечь также из теоремы Майкла.
Лемма 1.2.21. Пусть Б — дискретное пространство, га. е. каждая точка в Б открыта. Тогда Б обладает сильным свойством Скорохода для радонов-ских мер.
Доказательство. Пусть Б вполне упорядочено. Произвольная радоновская мера д на Б сосредоточена на счетном множестве {иД элементов Б. В качестве вероятностного пространства возьмем отрезок [0,1] с мерой Лебега А. Представим его в виде объединения непересекающихся полуинтервалов аг, Ьг) и точки 1 так, чтобы выполнялись следующие свойства: Д — a^ — д(од) и если Шц < ОД ТО Ьд < ОД Положим <Д(ж) = ил, если X £ Дг) Д)- В силу того, что любая последовательность радоновских мер на 5 сосредоточена на не более чем счетном числе точек и слабая сходимость д„ =у д влечет, что дп(А) —>• д(А) для всякого А С 5, легко видеть, что Д — искомое представление. □
Лемма 1.2.22. Бэровское пространство В{т) = ]Д“1Хд где X^ — копия дискретного пространства Б мощности г, обладает сильным свойством Скорохода для радоновских мер.
Доказательство. Пусть д Е 'Рг[в{ т)^ и Р„: В (г) Хп — проекция на п-ый сомножитель. По лемме 1.2.21 строим параметризацию Скорохода Д = Дору1: [О; 1] ~^ -^1 Для проекции меры на первый сомножитель. В силу радо-новости д о Рд соотношение Д о РД^Д ф 0 имеет место для не более чем счетного числа точек шд £ Х, *1 = 1,2, Для каждого сд положим
В%1 = |(ж1,ж2, ...,хт,...)£ В (г): х1 = шд|.
Через дц обозначим условную меру дф. /д°РГ1^,). Во всех остальных точках в качестве условной меры можно взять любую заранее фиксированную