Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом и спектральные задачи, возникающие при их изучении

• Автор: Лесных, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

0 Введение

1 Оценки решений ФДУ с постоянными коэффициентами

1.1 Введение

1.2 Однородные уравнения

1.2.1 Свойства характеристического определителя и его нулей

1.2.2 Представление решения и построение контуров интегрирования

1.2.3 Оценка интегралов

1.3 Неоднородные уравнения

2 Оценки решений ФДУ с переменными коэффициентами

2.1 Введение

2.2 Вспомогательные результаты

2.3 Основные результаты
3 Полурегулярные краевые задачи
3.1 Введение
3.2 Формулировка краевой задачи и определение линеаризатора
3.3 Основные результаты
3.4 Представление функции Грина
3.5 Необходимость полурегулярности
3.6 Достаточность полурегулярности
3.6.1 Представление резольвенты (Я — А)-1/при/€ Д1
3.6.2 Вспомогательные утверждения
3.6.3 Доказательство леммы 3.4 при / € УД
3.6.4 Доказательство леммы 3.4 при / е йо
3.7 Приложения
3.7.1 Стабилизация троса с грузом на конце

3.7.2 Задача Редже
Глава О
Настоящая работа посвящена изучению асимптотического поведения решений функционально-дифференциальных уравнений, а также изучению связанных с этими уравнениями дифференциальных операторов со спектральным параметром в граничных условиях.
Функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) изучаются достаточно давно. Отдельные результаты были получены еще около 200 лет назад. Активно эта теория начала развиваться в начале-середине 20 века во многом благодаря приложениям к теории автоматического управления. Наиболее полно состояние теории на тот момент времени представлено в известных статьях и монографиях А.Д.Мышкиса [63,64], Р.Беллмана,К.Кука [37], Дж.Хейла [72], Л.Э.Эльсгольца [79], H.H. Красовского [53]. Среди недавних работ отметим монографию В.Б.Колмановского и А.Д.Мышкиса [22] и обзорную статью P.P.Ахмерова и др. [35].
Функционально-дифференциальные уравнения традиционно разбиваются на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. При этом большинство приложений ФДУ связаны с уравнениями запаздывающего и нейтрального типа, поэтому уравнения именно этих двух типов привлекают наибольшее внимание исследователей. Причем нейтральные уравнения исследованы значительно меньше запаздывающих уравнений, так как их изучение в определенном смысле сложнее.
Одним из важнейших вопросов, возникающих в теории ФДУ, является вопрос об асимптотическом поведении решений при неограниченном возрастании независимого параметра. Этот вопрос давно является объектом большого числа исследований. Классические результаты в этой области содержатся в упомянутых выше монографиях. В последнее время существенного продвижения в этой области удалось добиться В.В.Власову, С.А.Иванову и

||u(i)|| < Cl exp {{x + e)t + C2 ln t), при /5 = 1.
Если x - точный тип роста решений гуравнепия (2.3), то оценки справедливы при е = 0.
Доказательство. Рассмотрим случай /? ф 1. Введем функцию v(t) — e-(x+e)tu(ty Тогда аналогично доказательству теоремы 2.1 получаем, что функция v(t) удовлетворяет уравнению (2.15) при некоторой функции ограниченной вариации &(в). Так как х - тип роста решений уравнения (2.3), то (—е) - тип роста решений уравнения (2.16) и все его решения ограничены. Применим лемму 2.2, ограниченность ядра y(s, t) гарантируется леммой 2.3. Получаем оценку
Возвращаясь к решению u(t) уравнения (2.2), имеем требуемое утверждение. Случай (3=1 рассматривается аналогично.
Если х - точный тип роста решений уравнения (2.3), то приведенные выше рассуждения справедливы и при е = 0. ►
Следующий результат показывает невозрастание типа роста при возмущениях из Li(0,+oo).
Теорема 2.3 Пусть а(в, I) = а(в) не зависит omt, х - тип роста решений невозмущепного уравнения (2.3), ||<5(0,i)|| < ip(t) и ip(t) € Li(0,+oo). Тогда тип роста решений уравнения (2.2) не превосходит х.
Доказательство. Покажем, что для любого решения u(t) уравнения (2.2) и для любого е > 0 выполняется оценка
Введем функцию и{£) — е_(х+^<пД). Тогда аналогично доказательству теоремы 2.1 получаем, что функция и{£) удовлетворяет уравнению (2.15) при некоторой функции ограниченной вариации о(0). Так как х - тип роста решений уравнения (2.3), то (—е) - тип роста решений уравнения (2.16), и все
Используя оценку функции ip(t), получаем
||v(i + /i)|| < ci exp fat' Р]
IMf)|| < С ехр((х + e)t).