Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

• Автор: Сапронов, Иван Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 99 c. : ил

§ I. Постановка задачи. Основные ограничения

§ 2. Асимптотическое решение N - го порядка в проекции

X - окрестности на ось О ОС

§ 3. Асимптотическое решение /1/ -го порядка в проекции

А - окрестности на ось ОЗС

§ 4. О методе стационарной фазы

§ 5. "Склейка" решений

§ б. Глобализация решения нулевого порядка

§ 7. Преобразование № при переходе к другим

ненулевым сечениям

§ 8. Случай замкнутой кривой. "Условие квантования"

§ 9. Глобализация решения первого порядка и его построение в случае замкнутой кривой
§ 10. Пример
Библиография

Различные задачи математической и теоретической физики приводят к .дифференциальным уравнениям, которые содержат малый параметр при старшей производной. Для построения приближенных решений таких уравнений эффективно применяются асимптотические методы. Широкий класс задач исследуется методами, связанными с теорией пограничного слоя (см. Гз].М.Й>. С.А. Ломовым и его сотрудниками интенсивно разрабатывается метод регуляризации (см.
[21]). Однако указанные методы не работают в случаях, когда исследуются быстро колеблющиеся решения.
Для обыкновенных дифференциальных уравнений в классических работах Грина и Лиувилля был развит асимптотический метод построения быстро колеблющихся приближенных решений, который впоследствии был применен Вентцелем, Крамерсом и Бриллюэном к задачам квантовой механики и получил название метода ВКБ (см., например, [39],[40j). Этот метод в основном применяется в тех случаях, когда решение ищется в области, которая не содержит.точек поворота.
Существенным достижением последних двух десятилетий было создание метода канонического оператора В.П. Маслова ([22],[24] -[26]). Этот метод позволил построить асимптотику в целом для ряда важнейших задач математической физики. В разработку теории метода канонического оператора включился ряд ведущих математиков в СССР и за рубежом (см. [7] , [ZO] , |~2б] , [29] , [12] - [19] ).
Отметим ещё большой цикл работ по асимптотическим методам в теории дифракции волн, выполненных В.М. Бабичем, B.C. Булдьгревым и их сотрудниками (см.
Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве объединяют в себе различные черты как обыкновенных дифференциальных
уравнений так и уравнений с частными цроизводными. В связи с этим развитие асимптотических методов построения приближенных решений таких уравнений является актуальной задачей. Первая попытка применения метода В.П. Маслова к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве была сделана С.Г. Крейном в простейшей ситуации, когда ядро и коядро соответствующего операторного коэффициента одномерны (см.[9], [ю]). Настоящая работа посвящена исследованию более общей ситуации в случае произвольных конечных размерностей ядра и коядра и неотрицательности индекса.
Перейдем к формулировкам основных результатов.
В § I говорится о постановке задачи и накладываются основные ограничения. А именно в вещественном банаховом пространстве Е задан полиномиальный операторный пучок

(I)
где - линейные, ограниченные операторы, действующие в
. Рассматривается дифференциальное уравнение
где у - искомая функция со значениями в комплексификации пространства Е у к - малый вещественный параметр.
Гладкая функция
называется формальным асимптотическим решением порядка Ь уравнения (2), если
г -/ЫТ(ХЛ)=0(1С) о)

удовлетворяющее заданным начальным условиям. Значит
а; (X)= 61 (*)
Тогда, очевидно,

можно гладко продолжить в проекцию - окрестности на ось
о . После ЭТОГО получим 1а (к) ( (А-о . Построим гладкую функцию 1П) , имеющую носитель в / и рав-
7‘
ную единице в V . Положим
т. .
( у01() -- а о (Х)> Ш; у/()
Продолжим теперь А,(Х) в проекцию А -окрестности на ось О А . Для этого напомним, что ^ (X) можно представить в виде

Ч,!х)° Гсм_ 5
І=І
где р(Х)Ч (х)’°-
Тогда по построению функции сЬ, ) в окрестности имеем _ -г
м ;
х£о>м)егм +