Дифференциальные многочлены с заданными решениями и аналитическая сложность голоморфных функций

• Автор: Красиков, Виталий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Линейные зануляющие дифференциальные операторы для алгебраических функций

1.1. Зануляющие операторы для решений голоиомных систем дифференциальных уравнений

1.2. Вы числение зануляющего оператора для заданной алгебраической функции

1.3. Примеры зануляющих операторов для алгебраических функций

1.4. Многогранники Ньютона оптимальных зануляющих операторов

1.5. Время вычисления зануляющих операторов и их свойства

2. Аналитическая сложность голоморфных функций двух комплексных переменных

2.1. Основные определения. Классы сложности

2.2. Условие принадлежности второму классу аналитической сложности . .

2.3. Сложность многочленов двух переменных
2.3.1. Сложность взвешенных однородных форм
2.3.2. Сложность дискриминантов
2.4. Сложность алгебраических функций
2.5. Сложность функций трех и более переменных
2.6. Примеры дифференциальных многочленов для частных случаев функций из классов сложности С1 и С
3. Аналитическая сложность гиперповерхностей и узлов
3.1. Сложность аналитической гиперповерхности в С“
3.2. Аналитическая сложность узла, вложенного в Ж
Заключение
Указатель обозначений

Список литературы
Работы автора по теме диссертации
Приложения
Приложение 1. Программа на языке среды МаЛета1к:а 7.0 для вычисления
зануляющего оператора для квинтики общего вида
Приложение 2. Зануляющие дифференциальные операторы для алгебраических функций
Приложение 3. Дифференциальные многочлены для функций различных
классов аналитической сложности
Введение
Многие классические и современные разделы математики ориентированы на решение (точное или численное) дифференциальных уравнений, их систем и обобщений (интегро-дифференциальных, дифференциальноразностных, псевдодифференциальных уравнений). К таким областям математики относятся, например, некоторые разделы функционального анализа, теория Р-модулей, групповой анализ дифференциальных уравнений, значительная часть теории специальных функций. Обратная задача построения уравнения или системы уравнений из определенного класса по известным решениям пользуется значительно меньшей популярностью и зачастую воспринимается как намного более простая. Это отчасти связано с замкнутостью класса элементарных функций относительно операции дифференцирования в совокупности с множеством простых примеров элементарных функций, не имеющих элементарной первообразной. Данное обстоятельство является следствием узости класса элементарных функций и может быть устранено путем перехода к подходящему расширению этого класса, например, при помощи специальных функций математической физики.
К числу обратных задач классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений можно отнести 21-ю проблему Гильберта, решение которой было получено A.A. Болибрухом в 1989 г. [3]. Эта классическая проблема, которая на протяжении почти 70 лет ошибочно считалась решенной Племелем в 1908 г., ставит вопрос о построении фуксо-вой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданным ветвлением ее решений (то есть, с заданной группой монодромии). Результат Племеля состоял в возможности построения системы с заданной

того, чтобы полностью приводить его в настоящем тексте. Степени получающихся многочленов по переменным ад,... , Ж4,х равны 15, 20, 21, 22, 23 соответственно. Старший коэффициент эануляющего оператора имеет степень 7 по х и распадается на два множителя. Один из них
это дискриминант левой части уравнения (1.8), а другой однород-
ный многочлен степени 15 с 264 членами. Самый большой из численных коэффициентов в зануляющем операторе для нормированной квинтики общего вида равен 2739594525000.
Пример 1.13. Нормированный тегпраиом с коэффициентам,и об'щего вида. По теореме 1.7 определение решения у{х) алгебраического уравнения
у6 + ау2 + Ьу + х = 0 (1.9)
равно пяти. Корпи уравнения (1.9) в точке общего положения х £ С
порождают пространство голоморфных решений следующего линейного дифференциального оператора пятого порядка с полиномиальными коэффициентами:
(-255664128 а10 4- 395740000 а5Ь4 + 1599609375 68 + 148780800 а6Ь2 х + 2859609375 аЬ6х-499654656 а7ж2 - 1573425000 аЧ4х2 4- 1051704000 а3Ь2х3 + 16796160 а4ж4)
(256а5Ь2 4- 3125 б6 - 1024а6.г- - 22500а64ж 4- 43200а2Ь2х2 - 13824а3ж3 - 46656 ж5) £^
(916300234752 а16 4- 18077130035200апЬ4 - 38094525000000 а658 - 134905517578125 аЬ12-77437887971328 а12Ь2ж + 107910691200000 а7 Ь6х + 332702753906250 а2 Ь10х+
37877629059072 а13ж2 - 406052352000а6Ь4х2 + 552267618750000аяЬ*х2-128020162314240 а9Ь2х3 - 727448202000000 а466®3 + 207464667561984 а10х*+ 43693344000000 а5ЬАх4 - 1306049062500000 Ь6х4 - 221398918963200 а6Ь2хь-2201395927500000 а66ж5 4- 359825022517248 а7 ж6 + 1137850610400000 а2Ь4х6-711490376448000а3й2ж7 - 10579162152960а4ж8)£!г+
30(—3264411795456 а1262 4- 5653930240000 а7Ь6 + 24016248046875 а2Ь10 4-3132022849536 а1Лх - 5896377011200 а8Ь4.г- - 145456875000 а3 Ь8ж-26783301058-56 ааЬ2х2 - 31473123300000 а4Ьвх2 4- 38750783864832 а10ж3-41250841920000 а5Ь4ж3 - 221475515625000Ь8ж3 - 21927996518400 а6Ь2ж4-344319609375000 аЬ6ж4 + 52068310990848 а7 ж5 4- 163366013160000 аЧ4х5-95796142732800 а362ж6 - 1311148560384 а4жт)^г
—120(—441539395584 а13 4- 907546908800 а8Ь4 4- 3520234921875 а368-122881784832 а3Ь2х + 2644039402500 а4Ь6х - 14126136238080 а10ж2+ 20651647680000 а5Ь4х2 + 887-54326171875 Ь8ж2 + 4397772787200 а6(гж34-122488079765625 аЬ6ж3 - 16700798121984 а7х4 - -51772358925000 а254ж4 4-28447024699200 а3Ь2ж5 4- 352185242112 а4ж6)^