Применение задачи Гильберта к исследованию разрешимости некоторых классов обратных краевых задач

• Автор: Селезнев, Валерий Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 103 с.

Глава 1. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами

§1. Случай односвязной области

§2. Случай двусвязной области

Глава 2. Обратные краевые задачи с граничными условиями на годографе производной

§3. Задачи для односвязных областей

§4. Задачи для дву связных областей

§5. Бесконечносвязная область

§6. Достаточные условия однолистной разрешимости

Глава 3. Видоизмененная обратная краевая задача

§7. Случай односвязной области

§8. Случай двусвязной области

§9. О разрешимости некоторых смешанных обратных краевых задач об обтекании профиля
Литература

Диссертация посвящена применению краевой задачи Гильберта к решению некоторых классов обратных краевых задач (ОКЗ) теории аналитических функций.
Под обратной краевой задачей, как и в [6], понимается задача отыскания контура области и функции или системы функций, принадлежащих в искомой области заданному классу, которые являются решением некоторого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, причем на контуре краевых условий задается на одно больше, чем требуется для решения прямой краевой задачи для данного класса функций. Таким образом, в отличие от прямых краевых задач, когда задаются дифференциальные уравнения, область существования их решения и одно краевое условие, в обратных краевых задачах задаются дифференциальные уравнения и два краевых условия, а отыскивается область, на границе которой решение уравнения удовлетворяет этим краевым условиям. К описанному классу относятся и обратные краевые задачи теории аналитических функций, когда отыскивается функция комплексного переменного, аналитическая в искомой области, по заданным граничным условиям. В этом случае вещественная и мнимая части искомой функции удовлетворяют в области уравнению Лапласа.
Как известно стимулом к возникновению теории ОКЗ послужила необходимость решения задач в аэрогидромеханике и теории упругости, в которых требовалось построить объекты, обладающие заранее заданными свойствами [42], [43], [66]. В настоящее время в результате более чем полувекового развития ОКЗ образуют обширный раздел теории аналитических функций, который был создан и развит преимущественно трудами казанских математиков и механиков (см., например, обзор [6]). Исторически сложилось так, что первые ОКЗ, имевшие приложения в механике, ставились по дуговому параметру 5 [66]. В односвязном случае задача состоит в отыскании области Д и аналитической в Д функции и>(я) по ее граничным значениям иД) = «(я) + оД), 0<я<£, где 5 - дуговая абсцисса неизвестного граничного контура Ьг области Д и £ - его длина. В зависимости от того, принадлежит бесконечно удаленная точка области Д или нет, ОКЗ делятся на внешние и внутренние. Во внешних задачах существенным оказалось задано или нет положение ТОЧКИ И’о, являющейся образом в ПЛОСКОСТИ IV бесконечно

удаленной точки в плоскости z. ОКЗ с заданной величиной wa впервые рассмотрел М.Т. Нужин [43]. Внешняя ОКЗ в случае, когда w,, заранее не задается, рассмотрена Ф.Д. Гаховым [13]. Им же была доказана разрешимость уравнения, из которого определяется w0.
В связи с требованием физической реализуемости построенных объектов в механике большую роль в теории ОКЗ играют достаточные условия однолистности решений. В этом направлении получено большое число результатов, которые подробно отражены в обзорах [3], [4].
Естественным обобщением ОКЗ является смешанная обратная краевая задача о нахождении области, часть границы которой известна, и функции или системы функций, удовлетворяющей в этой области дифференциальному уравнению или системе дифференциальных уравнений, по некоторым граничным условиям. Одна из первых формулировок смешанной ОКЗ для гармонической функции приведена в работе Демченко [74], однако решение им не получено.
М.Т. Нужину [67] принадлежит следующая постановка смешанной ОКЗ: на известном участке границы области Dz заданы значения действительной или мнимой части искомой функции w(z), на неизвестном — значения всей функции: требуется определить неизвестные части контура и аналитическую функцию. Решение этой задачи сталкивается с большими проблемами, так как по граничным условиям область Dw, вообще говоря, не определяется, и в общем виде до сих пор не построено.
В.Н. Монахов [40] поставил и исследовал следующую смешанную ОКЗ: на известном участке L границы L, = L + L) области Dz задается соотношение Ф(<р, ц/) = 0 между (р и у/ - действительной и мнимой частями аналитической функции w = ip + y/', на искомой части L границы задаются значения w = F(r), ге[Г|,г2], где г - один из параметров r = z, х = Re z, 0= arg z, s - дуговая абсцисса. Такое задание граничных условий позволяет определить область Da, что дает возможность применения метода сопоставления плоскостей. Разрешимость задачи исследовалась методом полигональной конечномерной аппроксимацииа.
М.И. Хайкин [68], [69] рассмотрел смешанную ОКЗ в случае, когда известен образ D„ искомой области Dz с границей LZ=L+L - на неизвестном участке L) заданной длины имеется граничное условие dw/dz={(s), se[0,£], а известная дуга L задается одним из следующих способов: L задана полностью, концы ее фиксированы; L задана с точностью до подобия относительно некоторой точки хорды, соединяющей ее концы; L лежит на заданной кривой, уходящей в бесконечность, фиксируется только начало L.
Доказательство разрешимости этой задачи проведено методом интегральных уравнений с использованием метода сопоставления плоскостей

Это равенство удовлетворим подбором постоянной С0. Тогда решение исходной задачи определяется формулой (2.54) и содержит аз произвольных постоянных V'У',ц,1лк,ц, к = 2,(се-)/2. При аз = 1 формула (2.54) будет определять решение исходной задачи, если в ней положить р = р = 0 для
к>, И"

2л эта
-И^а,
с0=-4р.(0 ^Г-—1пЛ + А(01?' і г _ )
Л . г'+г'и"
1т , когда а> О
іґ 1 - г,
и рк=рк = 0 для & > 1, и'
2л'
с0 =-4 /с(О ^--1пЛ + Д(07'
г ^ Л1 у
<к V" и
когда а = 0. Решение будет содержать произвольную постоянную и' при а > О или и" при а = 0.
б) В случае се < -1 получим
*Х*)
(г-г,)(г-р)' (г - 1)г",/:
(Л-/Л2
5 (с,, г) + /С0 +—— + /С0 g(z) }■,
(2.55)
где с і = с і (0 - с, (0 - И.Є
/-г,

Чтобы формула (2.55) определяла решение исходной задачи, необходимо соблюдение условия
а также условий (2.49), (2.50), в которых под функцией с,(/), входящей в
выражение для еі(г), следует понимать функцию, указанную в соотношении (2.53). Повторив рассуждения, приведенные в конце предыдущего пункта после формулы (2.47), заключаем, что решение задачи определяется формулой (2.55), если выполняются - аз действительных условий.
Таким образом, доказана
Теорема 2.1. Краевая задача Гильберта (2.1) для двусвязной области при се >2 безусловно разрешима. Общее решение зависит от се произвольных действительных постоянных. При се = 0 задача либо имеет единственное