Некоторые уравнения с бесконечномерными псевдодифференциальными операторами

• Автор: Курбыко, Инна Федоровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 c. : ил

ГЛАВА I. ОБ ОБРАТИМОСТИ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ I. Псевдодифференциальные операторы с символом специального вида
§ 2. Псевдодифференциальные операторы с символом, зависящим от одного аргумента
ГЛАВА II. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫМИ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦЙАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
§ I. Существование решения в обобщённых мерах задачи
Коши для некоторых эволюционных уравнений
§ 2. Эволюционные уравнения в пространстве функций на
гильбертовом пространстве
§ 3. О корректности краевой задачи для системы уравнений с псевдодифференциальными операторами
ДОПОЛНЕНИЕ. О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ, КОММУТИРУЮЩИХ СО СВЁРТКОЙ
МЕР В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ЛИТЕРАТУРА
В диссертации исследуются условия разрешимости задачи Коши для эволюционных уравнений с бесконечномерными пеевдодифферен-циальными операторами (сокращённо ПДО) в правой части, строится класс корректности задачи Коши для системы уравнений, содержащих ПДО с постоянными коэффициентами, а также описываются некоторые классы обратимых ПДО.
Бесконечномерные псевдодифференциальные уравнения привлекают сейчас внимание по нескольким причинам.
Во-первых, такие уравнения естественно возникают в квантовой теории поля, статистической физике и статистической гидродинамике.
Во-вторых, к необходимости исследования этих уравнений приводит сама логика развития нелинейного функционального анализа.
Наконец, отметим, что методы и результаты исследований бесконечномерных уравнений существенно отличаются от конечномерных. Эти отличия связаны с тем, что в бесконечномерном пространстве отсутствует мера Лебега (см. [33] ). Поэтому, в частности, уравнения, сопряжённые к дифференциальным уравнениям относительно функций, оказываются уравнениями относительно мер.: Фактически на это обстоятельство впервые обратил внимание С.В.Фомин (см. [39] ), указавший, что понятие распределения в смысле Шварца в бесконечномерном ' пространстве расщепляется. Меры на таком пространстве' нельзя отождествить с обобщёнными функциями. Поэтому появляются два вида распределений: обобщённые функции - линейные непрерывные функционалы на основном пространстве гладких мер и обобщённые меры - линейные непрерывные функционалы на пространстве гладких функций(различные типы таких пространств построены в [3] 6] ) •
К настоящему времени опубликовано значительное число работ, посвященных исследованию ПДО и дифференциальных операторов в про-

10] - [и] , [ю], [19] -, [40] - [41] , [47]-[49]).
странствах мер и функций на бесконечномерном пространстве.
В частности, такие операторы изучались в работах С.В.Фомина, Ю.М.Березанского, М.И.Вишика, Ю.Л.Далецкого, О.Г.Смолянова,В.Ю.Бе-нткуса, А.В.Угланова, Е.Т.Шавгулидзе, Л.Гросса, Б.Ласкара, А.Пич, и других математиков (см. й - [?] ,
[20] , Ы, [29] - [32] , [35] - [38
В большей части этих работ исследуются дифференциальные уравнения, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами.
Так, например, в [37] доказывается существование и единственность фундаментального решения дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэффициентами и исследуются эволюционные уравнения с такими операторами в пространстве обобщённых мер. В [4} устанавливаются достаточные условия обратимости дифференциальных операторов высших порядков. В [1б] изучаются эволюционные уравнения, содержащие дифференциальные операторы второго порядка с переменными коэффициентами.
Псевдодифференциальные операторы рассматриваются в |2б] , [41] и, с помощью существенно иных методов, в работах [[6] и [31] - [32], [48] . В работе [26] определяются ПДО в пространствах мер и функций на бесконечномерном локально выпуклом пространстве. Класс таких ПДО включает в себя дифференциальные операторы, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Здесь, как и в конечномерном случае, бесконечномерные ПДО характеризуются своим символом. В [41] изучаются бесконечномерные ПДО (в смысле работы б]) с символом, зависящим от одного аргумента € // » где Н - гильбертово пространство и доказывается однозначная разрешимость задачи Коши для дифференциальных уравнений порядка т по ~Ь , содержащих эти ПДО. Кроме того, для каждого ПДО с борелевским символом определяется своё пространство обобщённых мер и доказывается обра-

^ т р - ( р! »•••» ) 1 ^ * 1% ’ % ), I р I = 2-._^р6* , I % Iг
где рс‘ и - целые неотрицательные числа;
к- I *1^...,^) , у = (^9..., $к ) , где к^Ф^^Ф,
11 ^ !Ь = у г 119с ин '* ( }z ; ^=4'•*, к ) . здесь
Ц • Цу - норма в Д7 . Обозначим через - меру, полученную из ^ посредством дифференцирования ^ раз по направлению А, , ^ раз по направлению и т.д. . Положим
[<% , М Р - ПГ ^ ^ , I )Р,: ( I ^ Ф' )
функция ( ^ , • ) Р : ф* -*■ [К.4' суммируема относительно меры 1^1 , то можно определить меру ( )^ч- равенством
16^ =]в )р^(Ь (Вб1).
Обозначим через 5 векторное пространство всех мер на
( 2., Ф ) таких, что
1) меры ^ бесконечно дифференцируемы по подпространству Ф ;
2) для любых -ръ , ^ , р и меры ( / корректно определены равенством
( ^ , I )р^ СВ > = 5 (^,|)р
и для любого Ю. > О
II М- II* - & К- Р уаг(а,1)р{1 + (2Л2)
Пространство 5 с системой норм (2.12) представляет собой полное счётно-нормированное пространство ( см. [36 ] ). Для каждой меры ДН.6 3 определим её преобразование Фурье 3"С^ЧФ ’• Ф <£ ,
«ГС ^ П (У )' $ ^р[С ((М>3 4ди-(|) , у» £ Ф • ф'