Неравенства между нормами производных функций с ограничениями на старшую производную

• Автор: Зернышкина, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление
Список обозначений
Введение
1 Неравенство Колмогорова в пространстве Ь2 на числовой оси с односторонней нормой второй производной
1.1 Неравенство Колмогорова в пространстве Ь2{0,1) на классе выпуклых вниз функций
1.2 Редукция задачи о точной константе в неравенстве Колмогорова с односторонней нормой второй производной в Ь2(Ж) к задаче в £2(0,1) на классе выпуклых функций
2 Неравенства между нормой периодической функции и нормой положительной срезки ее производной
2.1 Неравенство между нормой монотонной на отрезке функции и нормой ее производной
2.2 Оценка снизу для точной константы в неравенстве между нормой периодической функции и нормой положительной срезки ее производной

2.3 Оценка сверху для точной константы в неравенстве между нормой периодической функции и нормой положительной срезки ее производной
2.3.1 Оценка сверху для константы в неравенстве Шмидта
2.3.2 Оценка сверху для константы в неравенстве Вир-тингера-Стеклова
2.4 Исследование вопроса существования экстремальной функции
Литература
Список работ автора

Список обозначений
I — конечный или бесконечный промежуток
1(1), 0 < р < ос, — пространство измеримых функций у с суммируемой степенью ур на промежутке I
Ыща,ь) = ( ьЬ1 у(х)р(1х ) , 0<р<оо, -оо<а<Ь<+оо

1Ы1ы>(м) = ( / y{x)pdx ) , 0 < р < оо
м
Ь°° (/) — пространство измеримых существенно ограниченных функций на промежутке I
IMU°°(/) = ess sup у{х)

L°(I) — пространство измеримых функций у, у которых суммируема функция ln+ |у| = ln(max(l, |у|))
l|y|U°(a,6) = exp 5/ln|y(x)|dx , -оо < а < Ъ < +оо
у+(х) = тах{у(т), 0} — положительная срезка функции у
Wn(r,p) — класс функций у 6 Lr(К), у которых локально абсо-
лютно непрерывна и у £ 1(М)

При х Е (0,1] имеем Y"(x)
Р2 п = e3:p“cosv,sin(a;posin(/p + <р) — e_2:poCOS
= 2 cos

+ 2 sin

= 2 cos Имеем ДД0) = 2Cpo sin

0, так как sin

0. Пусть теперь x E (0,1]. Тогда 0 < £posin

0. Исследуем знак функции f(t) = tht + tg

ch21 sin2 (t tg так как
sin2 (t tg Следовательно, на отрезке (0,1] функция /(жро cos 0 па (0,1), и, следовательно, Ypo(x) > 0 при любых х G (0,1).
Лемма доказана.
Лемма 7. Для любой функции у G Uq и произвольного р > 0 выполняется неравенство J(y,p) > 0. Равенство Д(у,р) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда р = ро и у (ж) — cYPo{x), где с — произвольная неотрицательная константа.