Емкость и модуль конденсатора в области с римановой метрикой

• Автор: Дымченко, Юрий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 69 с.

Оглавление
1 Введение

2 Предварительные результаты

2.1 Основные определения и обозначения

2.2 Свойства модуля семейства поверхностей

2.3 Вычисление модулей семейств непересекающихся поверхностей

2.4 Свойства пространства Ьп^^(Б)

2.5 Полнота пространства р(О)

2.6 Полнота системы непрерывных допустимых функций

2.7 Вспомогательные утверждения о кривых

2.8 Разные леммы

3 Основные результаты
3.1 Равенство ((р, Р1) -модуля и ( 3.2 Существование и единственность
экстремальных функций для (р, Р1) -емкости и (р, С) -модуля. .
3.3 Связь между (р, С) -емкостью конденсатора и (д, Р) -модулем семейства разделяющих
поверхностей
3.4 Теорема о плотности линейной оболочки
класса ЕР:р(В) в Т* Р(П) и следствия из нее
3.5 Условие е-обхвата для IVСр^ -множеств

Глава 1.
Введение
Работа посвящена изучению свойств емкости конденсатора и модуля семейства поверхностей в области с римановой метрикой, а также их применению в теории функций.
Понятия емкости и модуля были введены Альфорсом и Берлингом. Впоследствии они стали изучаться многими математиками (Б. Фюгледе, В. Ци-мер, Дж. Хессе, Ф. Геринг, А. В. Сычев, В. В. Асеев, Ю. Г. Решетняк, В. Н. Дубинин, В. А. Шлык, М. Оцука, О. Мартио, П. Коскела и др.).
Области с римановой метрикой являются обобщением понятия поверхности. Исследованию емкостей и модулей в областях с римановой метрикой было посвящено много работ. В 1966 году была опубликована работа финского математика К. Суоминена [10], который положил начало исследованиям по этой теме. В ней впервые было введено понятие модуля семейства кривых на ри-мановом многообразии и доказаны некоторые свойства модуля.
Среди работ, посвященных конденсаторам в областях с римановой метрикой, отметим работы В. М. Миклюкова [35, 36], в которых с их помощью доказываются различные свойства граничных множеств на поверхности и некоторые свойства минимальных поверхностей.
Приведем краткое содержание диссертации.
Во второй главе доказываются вспомогательные утверждения, которые необходимы для доказательства основных результатов.
В п. 2.1 приведены основные определения и обозначения, которые будут использоваться в работе: функциональные пространства, емкость конденсатора, модуль семейства поверхностей и пр.
В п. 2.2 доказаны следующие свойства модуля:
Лемма 2.1. Пусть В — некоторое семейство к-мерных поверхностей в В,п. М^^Г) = 0 в том и только в том случае, когда существует неотрицательная Ь 6 Ь1р^р'(Яп) такая, что fЬдНр = оо для любой т € В.

Лемма 2.2. Пусть Е — семейство к-мерных поверхностей.
Если / (р{рт — р)да —> 0 при т —> оо, то существует подпоследовательность рт1 такая, что для любого е > 0 существует Ее С Е: М^^Р{Ее) < е и / |рк, — рдНр 0 при I —> оо на Е Ее.

Лемма 2.2 обобщает аналогичное свойство р-модуля, приведенное в теореме 3(1) из [3].
В п. 2.3 доказана
Лемма 2.3 (Формула коплощади) Для функций и £ и
/ £ ЬР>Р(П) верна формула коплощади
I = I ду I (2.1)
£> Я* и~1(р)
которая является распространением формулы коплощади [40, гл. 3, §3.2, теорема 3.2.12] на риманову метрику. Также доказана
Теорема 2.1. Пусть дано семейство Е непересекающихся (п — к)-мерных поверхностей и(х1,..., хп) — (гхх(а?х,..., хп),... и^(х1,..., хп)) = С, где и : 1-4 Ик — липшиццева функция, С пробегает некоторое измеримое
множество А С Як ■ Тогда
Мр>Р( Е) = У I Тк,Р{иу-1йЩГкх
-Чу) )
!-Р
*у, (2.2)
где - + - = 1.

Эта теорема позволяет вычислять модуль семейства непересекающихся поверхностей в Йп с римановой метрикой. Она по сути дела обобщает известные методы вычисления модулей, использующие неравенство Гельдера и теорему Фубини (см. [39, гл. II, §2 ]).
В п. 2.4 приведены свойства пространства Ьп,^,р ■ Эти свойства аналогичны свойствам пространств Ьр, которые подробно рассмотрены в [33]. Следующие две леммы носят технический характер:
Лемма 2.4. Если (р удовлетворяет условию <р(2£) < ср(£), то из / (р(£р2(ит)) —> 0 при т —» оо следует, что ||ит|| —> 0 при т -> оо.
Лемма 2.5. Если ||и||п,<р,я < 1, то и = пу € Ьп^>Р{В)
и 1(и) — / ф{£р2(и))да < 1.
Лемма, приведенная ниже, устанавливает эквивалентность между сходимостью в среднем в Ьп^,Р и сходимостью по норме:

Отсюда
I ЕУ2{/и)йа< ! 8^~1)/2(уи)£у2{Уу)(1а <

Следовательно,
У еУ2{^и)йа^ ^ у £рУ2{Уу)<1. У£У2(7и)с1а < У£1р2{Чу)йа.

Отсюда в силу произвольности V вытекает, что и — экстремальная функция.