Некоторые специальные задачи линейного и нелинейного наилучшего приближения

• Автор: Азизов, Саидходжа Азизович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Куляб
• Количество страниц: 125 c. : ил

Задача наилучшего приближения функции состоит в отысканаименыпим в смысле метрики, определенной в заданном прост -ранстве. Эта задача впервые была поставлена П.Л.Чебышевым, который исследовал приближение непрерывной функции ^.посредством алгебраических многочленов степени не выше И , а также рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. В качестве меры уклонения двух функ -ций П.Л. Чебышев рассматривал максимум модуля их разности /61,62/. Впоследствии в работах ряда ученых задача наилучшего приближения получила дальнейшее развитие. Достаточно указать исследования А.А.Маркова, Д.Джексона, С.Н. Бернштейна, Валле-Пуссена, А.Н.Колмогорова, С.Б.Стечкина, С.М.Николь -ского, А.И. Ахиезера, В.К. Дзядыка, Ю.Н.Субботина и других.
С развитием теории линейных нормированных пространств стало ясно, что широкий круг задач наилучшего приближения допускает общую постановку в терминах нормированных пространств , если в качестве меры уклонения рассматривать норму пространства. Такая постановка дала возможность привлечь к решению экстремальных задач теории приближения методы и идеи функ -ционального анализа и геометрии. Новые методы оказались особенно плодотворными при переходе от конечномерных аппроксими* рующих множеств к бесконечномерным, при исследовании которых прежние алгебраические методы в значительной мере потеряли свою силу.
нии такой функции ^ из некоторого фиксированного множест ва С > уклонение которой от заданной функции

Основы теории наилучшего приближения в нормированных пространствах были заложены еще в 20-х годах одним из создателей функционального анализа С.Банахом /II/.
В 30-70-х годах идеи Банаха были развиты и систематизированы в работах советских математиков М.Г. Крейна /9,36/ ,
С.М.Никольского /39/, Н.И.Ахиезера /8/, А.И. Маркушевича / /37/, А.Н. Колмогорова /32/, Е.Я.Ремеза /47,48/, С.Б. Стеч-кина /56,57/, А.Л. Гаркави /20-22/, В.К. Дзядыка /25/, Н.П. Корнейчука /34/, В.Н. Никольского /40,41/ и многих других
В то же время были получены важные результаты и по теории наилучшего приближения в классических функциональных пространствах Тем., например, / 8,9,19,25,32,34,37,39,47,91/).

Начиная с 70-х годов появляется значительное число ра-*

бот, исследующих вопросы приближения с функционально-геометрической точки зрения. Отличительной чертой этих работ является большая общность рассматриваемых задач и получаемых результатов. Результаты исследования некоторых крупных математических школ подытожены в виде монографий, к числу которых можно отнести работы / 23,25,33,34,36,55,58/.
Успехи, достигнутые за последние годы в теории приближения в значительной степени связаны с прогрессом в области вычислительной техники. Появилась возможность решения зна -чительно. более сложных, чем ранее, задач, что, с одной стороны привело к возникновению новых проблем, и с другой - потребовало произвести переоценку ценностей в том математиче -ском багаже, который был ранее накоплен. Эти соображения нашли свое непосредственное воплощение в работах /25,33,34,55/.
Задача наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве ЭС формулируется следующим образом:
Пусть & некоторое непустое множество пространства X

и X -некоторый фиксированный элемент из X £(£»*;=
При этом Е(&х) называют величиной наилучшего приближения элемента относительно множества (у , а элемент ^ из ^ для которого II Ос- И - Е((г} X) - наилучшим приближением элемента ОС или элементом наилучшего приближения.
Задача наилучшего приближения включает в себя следующие проблемы :
1) существование элемента наилучшего приближения $0б(г;
2) характеристика элемента наилучшего приближения $0€(г>
3) единственность элемента наилучшего приближения Ц
4) если единственность элемента наилучшего приближения во множестве С не гарантируется, то возникает задача о характеристике размерности множества Щ^ (эс.) С £ элементов наилучшего приближения ;
5) построение алгоритма для отыскания элемента наилучшего приближения ;
6) вычисление или оценка величины наилучшего приближения ( Сг! Х') '
Настоящая диссертация посвящена изучению второй, третьей и четвертой задач в различных нормированных пространс-ствах, причём в зависимости от аппроксимирующего множества С- эти задачи могут быть как линейными, так и нелинейными.
Дадим краткую характеристику работы. Она состоит из Введения, трёх главирдиннацати параграфов.
Первая Глава IIосвящена характеристике элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве.А.Н, Колмогоров /32/ указал критерий полинома наилучшего прибли-

Глава II
КРИТЕРИИ ЭЛЕМЕНТА НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ В КЛАССЕ ОБОБЩЕННЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Основное содержание этой главы опубликовано в /5/.
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
В последующем Ц будет означать компактное метрическое пространство,///^)- пространство вещественно-или комплекснозначных функций, определенных и непрерывных на /^ , с нормой равномерной сходимости:
II $\ Г I $(Е)1, 2 е /?; $ е С((/)-
Пусть далее ^ есть непустое подмножество из Щ) • Тогда для заданной функции обозначим
Е = Е ( VI/, ^II $ - VI/ /I
величину наилучшего приближения функции ^ относительно множества Й/, функцию £ IV , которая реализует величину наилучшего приближения, будем называть элементом наилучшего приближения функции ^, или короче - наилучшим приближением.
В пространстве пусть заданы две системы линейно независимых функций
Ц ? Цг 1 * ' '9 I > ^ ^ ^ * ' ' , $ '
Тогда каждому вектору <к- и р-(р,у;Я,) соответст-

венно И ; Сп - мерных комплексных евклидовых пространствЬ и ^соответствуют обобщенные полиномы ЦЦ^,г)-' г
С-1 *