Метрическая геометрия нерегулярных пространств Карно - Каратеодори

• Автор: Селиванова, Светлана Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 137 с.

Оглавление

1 Предварительные сведения

1.1 “Классическая” субриманова геометрия, примеры

1.2 Касательный конус к метрическому пространству но Громову - Хаусдорфу

1.3 Предварительные сведения о квазиметрических пространствах

1.4 Локальная геометрия регулярных квазиметрических пространств Карно - Каратеодори

1.5 Локальная геометрия регулярных многообразий Карно

2 Локальная геометрия квазиметрических пространств Карно — Каратеодори в окрестности произвольной точки

2.1 Основные определения и предварительные замечания

2.2 Примеры

2.3 Выбор базиса

2.4 Построение нилыютентных аппроксимаций
2.5 Квазиметрика ри, определяемая нильпотентными аппроксимациями

2.6 Построение системы свободных векторных полей, продолжающих данные (редукция к случаю регулярных точек) .
2.7 Свойства квазиметрик р и ри
2.8 Теорема о расхождении интегральных линий и локальная
аппроксимационная теорема
3 Локальная геометрия многообразий Карно с внутренней
метрикой Карно — Каратеодори
3.1 Предварительные замечания
3.2 Редакция к случаю регулярных точек
3.3 Локальная аппроксимационная теорема
3.4 Обобщение теоремы Рашевского - Чоу на случай Сл/-гладких
полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера
4 Метрический касательный конус
4.1 Определение расстояния между двумя квазиметрическими
пространствами и его простейшие свойства
4.2 Определение и свойства сходимости последовательности компактных квазиметрических пространств
4.3 Сходимость последовательности произвольных
пунктированных квазиметрических пространств. Единственность предела
4.4 Понятие касательного конуса к квазиметрическому пространству
4.5 Сравнение с определением для метрических пространств .

4.6 Касательный конус к квазиметрическому пространству Карно — Каратеодори и к многообразию Карно с внутренней метрикой
5 Аксиоматический подход к описанию локальных касательных конусов эквирегулярных пространств Карно —
Каратеодори
5.1 Определение и свойства пространств с растяжениями
5.2 Существование касательного конуса к (квази)метрическому пространству с растяжениями
5.3 Локальная группа, определяемая сильной структурой растяжений
5.4 Обзор известных результатов
5.5 Алгебраические свойства касательного конуса
5.6 Пространство Карно - Каратеодори как пример пространства с растяжениями

метрических пространств с точностью до изометрии. При этом сходимость определяется следующим естественным образом.
Определение 14. Последовательность компактных метрических пространств {Хп}~=1 сходится по Громову — Хаусдорфу к компактному метрическому пространству X, если с1он(Хп, X) —■» 0 при п —» оо.
Возможны различные способы определения сходимости для некомпактных пространств. Пунктированным метрическим пространством называется пара (X, р), состоящая из метрического пространства X и точки р € X.
Определение 15 ([42, 43]). Последовательность ограниченно компактных пунктированных метрических пространств (Хп, рп) сходится к пунктированному метрическому пространству (Х,р), если
дон{Вй'Хп (рп, г), Вл*{р, г)) 0 (1.4)
при п —> оо для всех г > 0.
Следующее определение является более общим.
Определение 16 ([4]). Последовательность (Хп,рп) пунктированных метрических пространств сходится по Громову — Хаусдорфу к пунктированному метрическому пространству (Х,р) (обозначается (Хп,рп) —>

(Х,р)), если для любых г > 0, £ > 0 существует номер по такой, что для всех п > по существуют отображения /П)Г : Вс1х"{рп,г) —> X такие, что
(1) 1п,г(Рп) = Р
(2) <1м(/п,г) < е;
(3) ие(фП'Г(В<1хп(рп,г)) Э Вг1х(р,г- е).