Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метриках

• Автор: Али Мустафа Баггаш Гаафар
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 95 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Оценки производных полиномов в метриках

со знакочувствительным весом

1.1. Знакочувствительпый вес. Основные определения и обозначения

1.2. Один аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке

производной полинома для супремум-нормы со знакочув-ствительным весом

1.3. Оценки производных тригонометрических полиномов в

интегральной метрике со знакочувствительным весом

1.4. Об одной обратной теореме теории приближения с ограниченным знакочувствительным весом
Глава 2. Оценки полиномиальных приближений в метриках вариаций через различные структурные характеристики функций
2.1. Основные понятия и обозначения
2.2. Оценки через модули Ф-абсолютной непрерывности
2.3. Оценки через модули Ф-гладкости
2.4. Оценки через смешанные модули непрерывности
Список литературы

Введение
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются оценки производных тригонометрических полиномов в равномерных и интегральных метриках со знакочувствительным весом, имеющие приложения в обратных теоремах теории приближения, и оценки скорости полиномиальных аппроксимаций функций в метриках Ф-вариаций Орлича через различные структурные характеристики.
К возникновению и развитию нового направления теории приближения функций в метриках со знакочувствительпым весом привели, в частности, нестандартные задачи о приближении данной функции другими функциями с различной степенью точности и различным знаком уклонения на разных участках области приближения. В качестве примера приведем актуальную проблему аппроксимации диаграммы направленности антенны с высокими требованиями к погрешности приближения снизу на участке главного лепестка, умеренными требованиями к погрешности приближения сверху на участках ближних боковых лепестков и незначительными требованиями к абсолютной погрешности на дальних лепестках. Аналогичные задачи возникают также в теории фильтрации, квадратурных формулах. Аппроксимациями со знакочув-свителъным весом как частные случаи охвачены аппроксимации с обычным весом, одностронние и кусочно-односторонние аппроксимации, аппроксимации с интерполяцией в наперед заданных точках.
Систематическому изучению аппроксимаций со знакочувствительным весом начало положили работы Е.П. Долженко и Е.А. Севастьянова ((13]—[ 17], (31|).
В частности, для этих аппроксимаций ими введены основные понятия и изучены вопросы существования, единственности и устойчивости элемента наилучшего приближения.
Знакочувствительным весом на множестве Е С (—оо, +оо) называется упорядоченная пара р(х) = (р~(х),р+(х)) однозначных неотрица-

тельных на этом множестве функций р+(х) И Р-(х).
Знакочувствительный вес р(ж) называется непрерывным, ограниченным, суммируемым или периодическим, если таковыми соответственно являются обе функции р+(ж) И Р-(х).
Если функция /(ж) и знакочувствительный вес р(ж) определены на данном множестве Е С (—оо, +оо), а функции
/+(ж) = тах{/(ж), 0} и /~(ж) = (-/(ж))+
означают соответственно плюс-срезку и минус-срезку функции /(ж), то полагают
(1,р)(х) = /+(ж)р+(ж) - /“(ж)р_(ж)
и величина
1/1Р = |/|Р,Е = вир{|(/,р)(ж)| :х в Е} называется р-нормой функции /(ж) по множеству Е относительно знакочувствительного веса р(х).
Для суммируемого на данном отрезке [а, Ь] С (—оо,+оо) знакочув-етвителыюго веса р(х) интегральную р-норму измеримой на отрезке [а, 6] функции /(ж) определим равенством
||/1р = 11/1Р,М] = / [/+(ж)р+(ж) + /“(ж)р_(ж)]сгж;

величина \fp конечна, если функции-срезки /+(ж) и /'“(ж) суммируемы на отрезке [а, Ь] относительно весовых функций р+(ж) и р_(ж) соответственно.
В случае ограниченного на множестве Е знакочувствительного веса р(ж) легко показать, что р-норма | ■ р>е является сублинейным (т.е. неотрицательным, выпуклым и однородным) функционалом на множестве всех ограниченных на Е функций /(ж).
При р-(х) = р+(ж) = 1, очевидно, равномерная р-норма /р,е любой ограниченной на множестве Е функции /(ж) совпадает с ее обычной супремум-нормой
||/||я = 8ир{|/(ж)| : Ж е Е},

Если X Є (^, 7г] , то
Наконец, при х €Е (л, 2 л] имеем 2л — ж е [0, л), поэтому
Остается (для сравнения) вычислить в случае рассматриваемого веса р(х) = (р_(ж),р+(а;)) и тригонометрического полинома Тп{х) = втпх левую и правую части равенства (1.10).
Левая часть равенства (1.10) равна
Т'пр = вир (п| совпж|р+(ж)} = псоз0р+(0) = Мп.

Правая часть равенства (1.10) равна
п(1 + ПУП) тах{|Т„|р, | — Тпр} = п( 1 + 0,]№)Тпр =
Значит, равенство (1.10) также установлено. Теорема 1.2. доказана.