Полисвертки интегральных преобразований и их приложения

• Автор: Бритвина, Любовь Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 234 с.

Оглавление
Введение

Историческая справка

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Цели и задачи диссертационной работы

Основные результаты и научная новизна

Основные положения и результаты, выносимые на защиту .

Апробация и публикации результатов

I Свертки и полисвертки интегральных преобразований

Основные определения и обозначения

1. Обзор интегральных преобразований, используемых в диссертации
1.1. Элементы теории экспоненциального преобразования Фурье
1.1.1. Определение
1.1.2. Свойства
1.1.3. Свертка
1.2. Косинус- и синус- преобразования Фурье
1.2.1. Определение
1.2.2. Свойства
1.2.3. Свертки и полисвертки
1.3. Некоторые результаты теории преобразования Лапласа
1.3.1. Определение
1.3.2. Свойства
1.3.3. Свертка

1.4. Преобразование Меллина
1.4.1. Определение
1.4.2. Свойства
1.4.3. Свертка
1.5. Элементы теории преобразования Ханкеля
1.5.1. Определение
1.5.2. Свойства
1.5.3. Свертка
Краткие выводы к главе
2. Полисвертки интегральных преобразований, способы и методы их построения
2.1. Понятие полисвертки
2.2. Конструирование полисверток интегральных преобразований “по определению” ; .
2.2.1. Построение полисверток, исходя из знания теоремы
умножения ядер
2.2.2. Способ построения полисверток, основанный на конструировании их ядра
2.3. Примеры конструирования полисверток “по определению” .
2.3.1. Примеры построения полисверток с помощью теоремы умножения ядер
2.3.2. Примеры построения полисверток, исходя из конструирования их ядра
2.4. Другие методы построения полисверток
2.4.1. Случай В = рАС
2.4.2. Случай В~1 = СА~1р
2.5. Примеры полисверток с дифференциальными операторами
и операторами сдвига
2.5.1. Примеры, демонстрирующие случай В = рАС
2.5.2. Примеры, демонстрирующие случай В~1 = СА~1р
2.5.3. Полисвертки преобразования Ханкеля и дифференциальные операторы
Краткие выводы к главе
II Приложение сверток и полисверток интегральных преобразований к решению уравнений
Основные положения
3. Решение уравнений методом интегральных преобразований в случае одной независимой переменной
3.1. Исходный пример
3.2. Общая схема
3.3. Примеры решений конкретных уравнений методом интегральных преобразований
3.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Вариант 1
Вариант
Вариант 3
3.3.2. Разностные уравнения
3.4. Конструирование ядра интегрального преобразования по виду исследуемого уравнения
3.4.1. Исходный пример
3.4.2. Способы конструирования ядра преобразования по виду уравнения
1-ый способ
2-ой способ

Теорема 1.8. Пусть f(t) и tf(t) принадлежит L(R). Тогда функция F(x) = V[/](æ) дифференцируема и
F'(x) = V[itf(t)](x). (1.12)
Следствие. Если функция f(t) такова, что /(£), tf(t),..., tkf(t) £ £(R), то функция F(x) имеет к непрерывных производных и
*<*>C«0 = v[(ü)*/(t)K«)- (1.13)
Если tkf(t) £ F(H) при всех k £ Nq = N U {0}, то F(x) бесконечнодифференцируемая функция.
1.1.3. Свертка
Впервые свертка, порожденная преобразованием Фурье, была введена R. Churchill в 1941 году [58].
Опираясь на определение (0.26) свертки интегрального преобразования не трудно данную свертку сконструировать.
Определение 1.4. [28] Сверткой функций f{t) и g(t), определенных на всей числовой оси, называется функция

(fv*gv)vit)= I f{.T)g(t-T)dr. (1.14)

Приведем несколько фактов из теории преобразований Фурье [18, 28, 42], которые в дальнейшем найдут применение в диссертации.
Теорема 1.9. Если f(t),g(t) £ L(K), то их свертка Фурье (/v * 9v)y (0 существует для почти всех t и принадлежит L(R.). Справедливость факторизационного равенства
v [(/v * 3v)v] (æ) = V[/](æ)V[g](æ) (1.15)
6 данном и последующих случаях очевидна.