Наилучшее приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди

• Автор: Юсупов, Гулзорхон Амиршоевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 86 с.

Глава I. Наилучшее приближение аналитических

функций полиномами в пространстве Щ, 1 < р < 2.

§1.1. Основные понятия и вспомогательные факты

1. Пространство Харди Нр, 1 < р < оо

2. Приближение классов функций в пространстве Нр, 1 < р < оо

3. Задачи о поперечниках

§1.2. О наилучших приближениях аналитических функций из

1 < Р <

§1.3. Наилучшее приближение аналитических функций, задаваемых

модулями непрерывности производной по аргументу

§1.4. Наилучшее приближение некоторых классов аналитических

функций в Щ, 1 < р < 2 . . . ,
Глава II. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Н%.
§2.1. Значение поперечников классов и Иг^а в Н%
§2.2. Значение поперечников классов И^Ф) и И^ДФ) в Яг .... 68 §2.3. О значениях поперечников, зависящих от параметра
А (0 < А < 1), для классов УУ^Ф) и Ж^0(Ф)
Литература
В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных функциональных пространствах. Это связано, в первую очередь, с задачей отыскания значений поперечников классов функций в этих же пространствах. Так, например, в пространствах Харди Нр, р > 1, задачи наилучшего приближения аналитических в единичном круге функций с ограниченной по норме производной изучались в работах К.И.Бабенко, В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, Ж.Шейка, В.И.Белого, М.З.Двейрина, С.Б.Вакарчука.
Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову классов аналитических в круге функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л.В.Тайкова, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчука и М.Ш.Шабозова.
Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений колмогоровских, линейных и проекционных поперечников классов аналитических в единичном круге функций, у которых г-я производная принадлежит пространству Харди Нг и удовлетворяет на границе некоторым ограничениям, связанными со скоростью убывания модуля непрерывности т-го порядка.
Основной целью работы является:
1. Найти новые точные неравенства между наилучшими приближениями

комплексными алгебраическими полиномами и интегралами, содержа-, щими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди.
2. Вычислить точные значение колмогоровских, линейных и проекционных поперечников соответствующих классов аналитических в единичном круге функций.
Результаты, полученные в диссертации, имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении е -энтропии классов функций, аналитических в единичном круге.
Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в ХоГУ (Хорог, 1999-2003 гг.), на семинарах по теории функций в ТГНУ (Душанбе, 2000-2003 гг.), на международной конференции "Развитие горных регионов в XXI веке"(Хорог, Таджикистан, 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции посвященной 10-летию ХоГУ (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на международной научной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами," посвященной 50 - летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003г.)
Основные результаты опубликованы в работах [42,43;45,46].
Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 46 наименований и занимает 86 страниц машинописного текста. Главы подразделены на 7 параграфов. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул
§1.4 Наилучшее приближение некоторых классов аналитических функций в пространстве Н!р, 1 < р < 2.
При рассмотрении задачи наилучшего приближения классов аналитических функций полиномами будем исходить из точных результатов, полученных в предыдущем параграфе.
Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что Ф(0) = 0. При любых натуральных т,п, г и /3 > 0,

/г > 0, 0 < PH < тт, 0<7< 2 (п — г) Е (п — я)-1, г < п и любом и € (0, л],

определим класс функций:
При тех же условиях и0<7<2г — 1 определим также класс функций
Введем в рассмотрение также не зависящие от мажоранты Ф(и) классы
И^(ф) := Шф(т,п,г,/у,/3)