Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Lipmα

• Автор: Коган, Евгения Семеновна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Чита
• Количество страниц: 71 с. : ил.

Глава 1. Тригонометрические операторы Баскакова
1.1. Идея В. А. Баскакова построения примеров операторов класса Б2т
1-2- Определение вида операторов му^к‘ и некоторых
множителей суммирования
1.3. Вспомогательные утверждения
1.4. Нормы операторов Баскакова
1.5. Оценка скорости приближения функций класса Ырма,
О < а <
1.6. Оценка приближения в точке существования производной и в точке, где /'(*) имеет разрыв первого
рода
1.7. Обобщение предложения 1
1.8. Оценка приближения вблизи точки существования производной и вблизи точки, где /'(0 имеет разрыв первого рода
1 -9. Оценка приближений функций класса Ж1 На
1.10. Оценка приближений функций класса Ж2#“
Глава 2. Некоторые точные константы в оценках приближения
функций класса Ыр
2.1. Получение точной константы в оценке приближения функций класса Ыр операторами М^{к) методом исследования на экстремум
2.2. Некоторые утверждения общего характера
2.3. Теорема об экстремальном значении функционала некоторого специального вида
2.4. Применение теоремы 2.2 к получению точных
констант
2.5. Точная константа в оценке приближения функций
класса Ыр операторами (/(?),х)
2.6. Применение теоремы 2.2 для случая т

2-7- Динамика изменения и с увеличением к
2.8. Еще одна экстремальная задача
2.9. Оценка приближения функций класса Ырма,
О < а < 1 с улучшенной константой
Заключение
Литература
Теория приближений занимается, в частности, получением оценок вида |Z,ii(/(?),х)- f{x) Основное содержание данной диссертационной работы относится к получению оценок приближения функций класса Lipu 1 конкретными операторами, некоторые из них будут далее определены.
В дальнейшем мы будем говорить только о приближении 2л - периодических функций в метрике, определяемой чебышевской нормой.
Определение 0.1. Чебышевской нормой в пространстве С2я- непрерывных 2л - периодических функций будем называть величину ||/(0|| = тах|/(?)|.
Согласно общепринятому обозначению, символом LipM 1 обозначают класс функций, таких, что для любых t2, tx ït2, |?,-?2|<2л выполняется |/0i)~ f (?2)| - Щ! ~h' Для обозначения того же класса функций используется еще и символ н'м
Определение 0.2. Линейные операторы L(f(t),x) называются положительными, если (/(?) > 0) => (Vx L(f(t),x) > 0).
Если Ln{f{t),x)- положительные линейные операторы, то оценку приближения ими функций класса Ыри 1 (или, что то же самое, класса Нхм ) можно провести по схеме, соответствующей схеме доказательства теоремы П. П. Коровкина [12].
Зафиксируем х и будем обозначать |? - х| 2л - периодическую функцию равную |? - х| при t е [х - л,х + л.

Ац''кг) =Л(і|д2)('ї/ло)> где Л° = {я°,Я°} при тех значениях Я,0 и Я2, о которых говорилось выше.
Учитывая, что при нахождении Л^.ь/Я'дГ.), значения Тд0 на промежутках [Я?,Я°2[ и [Я2,°о[ можно изменять на любую константу сформулируем результат.
Теорема 2.3. Для операторов М^',кг 5 (/(ґ), х) и любой функции /(/) є Ьірм выполняется оценка ||М‘*іД2)(/(Г),х)-/(х)||< Ми-1Д^,,Аг) + о(и~'),

зо _:„2^ 2 _:_2^_л,
где константа Д^1’*2* = Апъкхк1
| яіп їсіґ
чіпкую ьиту-*2)
1

не может
быть снижена.
Случай т-3, {кх,к2,къ) = (1,2,3) разберем позднее.
2.5. Точная константа в оценке приближения функций класса Ыр операторами (/(/), х)
В работе [14] приводится, в частности, следующий пример аппроксимирующей последовательности операторов класса

о?кт,х)
( /б Л
тт (1 - соя — )(11и4 + 5«2 + 4) -10(н2 +1)
I п у
X }/(' + *)
г . щл яш

Я1П-2 )
(соя/ -соя—)т
Найдем выражение в интегральной форме для £>„6'(1,х). Учитывая четность ядра, получаем