Характеризация спектральных данных гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом с конечной энергией

• Автор: Челкак, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 106 с.

Содержание
1 Введение
1.1 Исторический очерк и постановка задачи
1.2 Основные результаты диссертации
1.3 Структура диссертации и ключевые результаты
1.4 Открытые вопросы
2 Построение фундаментальных решений
2.1 Неравенство Г.ОКег’а для невозмущенных решений (х, А)
2.2 Свойства невозмущенного вронскиана ад0 (А)
2.3 Построение и оценка итерационного ядра *7°(лг, А)
2.4 Построение фундаментальных решений ф±{х,) и
оценка вронскиана и^А,?)
2.5 Построение фундаментальных решений А)
2.6 Асимптотическое поведение решений при х—>±оо
3 Теорема единственности
3.1 Самосопряженность оператора Тч
3.2 Класс В
3.3 Асимптотика корней вронскиана ги(-, д)
3.4 Определение нормирующих постоянных и
грубые асимптотики спектральных данных
3.5 Доказательство теоремы единственности
4 Аналитичность и градиенты спектральных данных
4.1 Аналитичность фундаментальных решений и вронскиана
4.2 Градиенты собственных значений
4.3 Градиенты нормирующих постоянных
4.4 Аналитическое продолжение спектральных данных
на комплексные потенциалы
4.5 Свойства функций ф% и фпХп
5 Формальная производная Фреше Фц и определение
пространства спектральных данных
5.1 Тождества для квадратов полиномов Эрмита
5.2 Разложения функций (ф®)2, ф°Хп п0 вспомогательному базису
5.3 Определение пространства потенциалов Н и представление
оператора Фд во вспомогательном базисе
5.4 Определение и простейшие свойства пространств Н, Но , 'Н
6 Асимптотики спектральных данных
6.1 Предварительные вычисления

6.2 Обоснование метода вычисления асимптотики
собственных значений
6.3 Первые слагаемые в асимптотиках спектральных данных
6.4 Второе слагаемое в асимптотике собственных значений
6.5 Второе слагаемое в асимптотике нормирующих постоянных
7 Доказательство теоремы 1.1
7.1 Ф - локальный вещественно-аналитический изоморфизм
7.2 Преобразование Дарбу (предварительные результаты)
7.3 Преобразование Дарбу (изменение спектральных данных)
7.4 Сюръективность отображения Ф
8 Свойства пространства спектральных данных
8.1 Пространства Соболева и их связь с преобразованием
Меллина (необходимые сведения)
8.2 Изоморфизм пространств Д° и До
8.3 Доказательство теоремы 1.
8.4 Аппроксимация конечными последовательностями в До,
свойства операторов Тп
8.5 Свойства операторов
9 Доказательство теорем 6.7 и 6.10
9.1 Предварительные оценки
9.2 Доказательство неравенств (6.24), (6.34) в теоремах 6.7, 6.
9.3 Доказательство неравенств (6.25), (6.35) в теоремах 6.7, 6.
9.4 Доказательство неравенств (6.26), (6.36) в теоремах 6.7, 6.
9.5 Оценка интегралов 7п°'°^(1,9) и ^°’°^(1,д)
Список литературы

1 Введение
1.1 Исторический очерк и постановка задачи
История обратных спектральных задач восходит к середине XX века к работам таких авторов, как G.Borg, N.Levinson, И.М.Гельфанд и Б.М.Левитан, В.А.Марченко, М.Г.Крейн, Л.Д.Фаддеев и др. Первой из этого класса задач, в связи с квантовой теорией рассеяния, была исследована обратная задача рассеяния на полупрямой:
Решение уравнения Ьф = —ф"(х, к)+д(х)ф(х, к) = к2ф(х, к), ^(0, к) = 0, при условии, что потенциал q{x) достаточно быстро убывает при х—»+оо, имеет асимптотику ф(х, к) « C(&)sin(fcr — т](к)). Спрашивается, насколько знание функции Т](к) определяет функцию q(x) и как связаны их свойства.
Эта задача в 1955г. была решена М.Г. Крейном [1] и В.А.Марченко [2], которые показали, что ряд условий удобно формулировать в терминах преобразования Фурье функции e-^W-l. Так, В.А.Марченко установил, что потенциал q(x) обладает такими же свойствами при х —> 0 и х —+ +оо, как производная от этого преобразования Фурье. Кроме того, необходимо упомянуть процедуру явного построения потенциала по спектральной функции, полученную И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном [3], которые свели задачу к линейному интегральному уравнению. Достаточно полный обзор теории обратной задачи рассеяния на полупрямой был дан Л.Д.Фадцеевым [4]. После работ, упомянутых выше, появилась большая литература, посвященная переносу этих результатов на различные уравнения (с особенностью типа 1(1+ 1)х~2 и т.п.). В частности, обратная задача рассеяния на всей прямой была (с некоторыми неточностями) в 1964г. решена Л.Д.Фадцеевым [5]. Позднее, в 1979 г., P.Deift и E.Trubowitz [6] показали, что теорема Фаддеева справедлива лишь при некоторых дополнительных условиях и дали ее новое доказательство (отметим также последующую работу T.Kappeler’a и E.Trubowitz’a [7], посвященную свойствам аналитичности спектрального отображения).
Параллельно с обратными задачами рассеяния изучались и такие задачи, в которых естественный набор спектральных данных является не одной или несколькими функциями, как в рассмотренном выше примере, но некоторым счетным множеством параметров. Рассмотрим, например, уравнение Шредингера на всей прямой с периодическим потенциалом (оператор Хилла):
Пусть q е А2[0,1], q(x) = q(x + 1). Тогда спектр оператора Шредингера —d?/dx2+q(x) состоит из бесконечной последовательности зон однократного непрерывного спектра. Спрашивается, можно ли описать все такие последовательности, отвечающие рассматриваемому классу потенциалов.
В 1984г. J.Garnet и E.Trubowitz [8| (см. также [9]), опираясь на работу В.А.Марченко и И.В.Островского [10], доказали, что отображение, сопоставляющее каждому четному потенциалу с нулевым средним1 последовательность длин лакун спектра со знаками,
*То есть такому потенциалу, что q(rc) =q(l—гс) и fg q(t)dt=0.

Мы установили неравенство (3.2) на контурах Уп, ип, п > щ. Отметим, что обе функции и>(-,д) и и>°(-) - целые. Применяя теорему Руше (см. [29], стр. 425), выводим отсюда, что и>(-,д) имеет столько же корней с учетом кратности, сколько и ш°(-) в каждой из ограниченных рассмотренными контурами областей. Поскольку все корни ад°(-) простые и находятся в точках °, получаем искомое утверждение. □
3.4 Определение нормирующих постоянных и грубые асимптотики спектральных данных
В этом параграфе мы формулируем простейшие свойства спектральных данных для вещественных потенциалов из класса В.
Лемма 3.5. Пусть деВ . Тогда
(г) Спектр оператора Тч полностью дискретен и состоит из простых собственных чисел
А0(д)<Ах(д)<Л2(д)<
При этом А является собственным числом Тч, если и только если ш(А, (?) = 0.
(И) Для каждого пфО существует конечная нормирующая постоянная
^п(д) = Нт

■Фп(х,д)
фп{-х,д)
= Нт log
, Фп(х,д) к > М~х,д)
(3.3)
где через фп(х, д) мы обозначаем п-ую нормированную собственную функцию оператора Тч. Кроме того, выполняются тождества
Ф±(х, Ап(д), д) = с*фДх, А„(д), д), с± = (-1)пе=р1,г>(,), (3.4)

■ф1(хДп(д),д)<1х = с±й{п(д),д) >0, ги = —. (3.5)
В частности, все корни вронскиана ш(-, д) простые.
(т) Справедливы асимптотики
А«(д) = А“+0(6(2п,д)), ип{д) = 0(Ь(2п, д)), п->-+оо. (3.6)
Замечание. Тождество (3.5) справедливо и для комплексных потенциалов. Мы видим, что в таком случае вронскиан может иметь кратные корни, поскольку для комплексных потенциалов вполне возможно, что /я ф±(х, п(д),д)бх = 0.
Доказательство. (1) Спектр оператора Тч полностью дискретен, поскольку выполняется общее условие роста потенциала х2+д(х) при х—* ±оо6. Далее, предположим, что гу(А, д) — 0. В таком случае ф- и ф+ пропорциональны, и значит уравнение (2.1) имеет нетривиальное решение в Ь'2(К). Обратно, пусть А - собственное число оператора Тч и ф & Т2(К) - соответствующая собственная функция. В таком случае ф должна быть
6Это также ясно из доказательства леммы 3.1 и принципа минимакса - см. [30], стр. 91-94.