Некоторые классы полных систем, достаточные и эффективные множества

• Автор: Шерстюков, Владимир Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 96 с.

ГЛАВА I. АППРОКСИМАЦИЯ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С УЧЕТОМ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИБЛИЖАЮЩИХ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ

§1.3- полные системы элементов

§2. Абсолютная полнота системы степеней

в пространстве аналитических функций

§3. Абсолютно представляющие и абсолютно

приближающие системы в пространстве Фреше

§4. Абсолютно приближающие системы в канонических индуктивных пределах нормированных пространств. Связь с абсолютно представляющими системами

ГЛАВА II. ДОСТАТОЧНЫЕ И ЭФФЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА

§1- лМ - определяющие множества

§2. у-достаточность и у-эффективность

ГЛАВА III. АБСОЛЮТНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Абсолютно полные системы экспонент с
целыми показателями
§2. Абсолютная полнота систем экспонент с показателями в нулях целой функции
экспоненциального типа
§3. Геометрические условия абсолютной полноты систем экспонент в пространстве А(0)
ЛИТЕРАТУРА

п.1. Приведем некоторые часто используемые в работе обозначения, определения и вспомогательные результаты. Всюду ниже символами N, N0, Z, R, С обозначаются множества всех натуральных, целых неотрицательных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно. Для множества Q комплексной плоскости С и точки zeC
p(z, Q) := inf {[z - y|: у e Q}- расстояние от z до Q; KR := {z e С: |z| < r} -открытый круг с центром в начале координат радиуса R > 0. Определим пространство A0(G) всех аналитических в области G расширенной плоскости С функций f (f(co) = 0, если оо gG) с топологией, задаваемой набором преднорм pQ(f) = sup{|f(z)j: z G Q }, где Q — любое замкнутое подмножество G. Сопряженное к этому пространству допускает изоморфную реализацию Кете-Теплица [48] в виде некоторого пространства аналитических функций. Напомним эту реализацию в случае односвязной в С области

G. Пространство A(G) алгебраически изоморфно векторному пространству A0(cg) классов локально аналитических на множестве CG функций, исчезающих в бесконечно удаленной точке. Пусть g е А0 (с О) — класс эквивалентности, содержащий росток g; f € A(G); Г- контур (замкнутая спрямляемая жорданова кривая), лежащий в G, внутренность которого со-

держит все особенности g. Изоморфную реализацию A(G) в виде А„(С) осуществляет оператор
F: geA0(cG)^9§ g A(G) ,9g(f)=Jf(z)g(z)dz.
Z7T1 р
Приводимые ниже сведения из теории локально выпуклых пространств (л.в.п.) можно найти, например, в [34]. Пусть Е - л.в.п. с топологически сопряженным к нему пространством Е';о(Е',Е) (р(Е',Е)) - слабая (сильная) топология в Е'. Мы будем использовать также эти понятия в более общем случае, когда л.в.п. Е и F образуют дуальную пару. Через А0 обозначим поляру (в Е') множества А с Е: А0 := { ф е Е': | ф(х) | < 1, Vx е А }. Всякому абсолютно выпуклому поглощающему в Е множеству А можно сопоставить преднорму рА(х):= inf {А, > 0 : х е ДА }, которая называется функционалом
Минковского множества А . Символом aconvA будем обозначать замкнутую абсолютно выпуклую оболочку множества А в Е, а бочкой, как обычно,

в л.в.п. назовем всякое его абсолютно выпуклое поглощающее замкнутое подмножество. Пространством Фреше называется полное метризуемое л.в.п. Примером пространства Фреше может служить л.в.п. A(G). Отметим, что выписанный выше алгебраический изоморфизм F становится топологическим изоморфизмом A0(cg) и сильного сопряженного A(Gl при наделении пространства А0 (с G) соответствующей индуктивной топологией.
Выделим особо случай, когда область G р -выпукла, 0 < р < со [15]. Предполагаем (при р Ф 1), что 0 eG. Пусть h(— 0) - ее р-опорная функция; Кп- последовательность р-выпуклых компактов, исчерпывающих G изнутри, с р-опорными функциями hn(— 0); [p,h(ö)) - множество всех це_ Inj у(ге10 )|
лых функций, у которых индикатор при порядке р h Д0):= lim-

меньше, чем Ь(б). В [р, Ь(0)) вводится топология индуктивного предела последовательности банаховых пространств

у 6 [р, h(e)): I у I := sup
zec exp|z| hn(argz)
, n > 1. В силу обобщенной теоремы Полна, обобщенное преобразование Бореля
СО 00 Z V
Т : f (z) — XfkZk (TfXt)= У fL Г 1 + — t_k_1 устанавливает топологиk=0 k=0 V P J
ческий изоморфизм между пространствами [p.Me)) и a„(cg) , так что
A(G). можно отождествить с [p,h(0)).
Если G- ограниченная р-выпуклая область, то в векторном пространстве a(g) локально аналитических на G функций вводится топология индуктивного предела последовательности банаховых пространств Ac(Gn) аналитических в Gn и непрерывных в Gn функций с sup-нормой. Здесь Gn-ограниченная р-выпуклая область с р-опорной функцией hn(—0), hn+i(0)>hn(0)>h(0) (n = 1,2,...) и limhn(0) = h(0),V0. Как известно
п—>00
[15], a(g) - LN* -пространство, то есть [35] внутренний индуктивный предел последовательности банаховых пространств, каждое из-которых вложено

Ш>1 и Вх < со : Бир /,|| Скпхк| <ВХ. Если теперь ф е Е' и
4^1 к=1 ’ т

I ф(хк)|
< 1, то
хк€Ет || |
( Л
ф(х)| < Бир Ф £смхк — Бир £смф(хк) = 8ир Есмф(хк)
п>1 V к=1 п>1 1<к<зп П>1 1<к<5„
ск,п^ хкеЕт

^иР £|ск,п||ф(хк)|^8иР Е|см|1хк|т=5ир£||ск!Пхк|| <Вх.СледопЫ 1<к<з„ хкеЕщ
П>1 1<к<8„ хкеЕ„
п>1 к
вательно, условие (1.13) выполнено.
Достаточность. Пусть имеют место условия (1.9') и (1.13). Покажем вначале, что для любого х е Е существуют т > 1 и Сх < оо, подчиненные требованию

•асопу
х,.
X,,
(1.14)
VII к /хкеЕш
Допустим, что (1.14) нарушено, то есть найдется элемент Х0 е Е, не принадлежащий множеству А. • асопу
/ л
X,,

VII к "Щ УхкёЕп1
ни при каких Ш>1 и Д < оо
следствию из теоремы Хана-Банаха существует семейство функционалов {фт Х е Е': гп > 1, 0 < А. < °°} со свойством I Фтх(хо)| > Ь

Xi.eE

Ф тД Хк
1 II
х.
к 11 т
. По х„ е Е найдем тл >1 и В, так, чтобы выподнялось (1.13). Взяв ^0>ВХ , получим
Фт0Д0
^ < | Фт,Я.(Хо ) | ~ Вх0
хк£Ет
/ Л Хи
X,.

< —- < 1. Полученное противо-
/V.
речие означает, что условие (1.14) выполняется. Поскольку Е удовлетворяет ( х
(1.9') и асопу -—с: Ет, то для любого х е Е существуют ш > 1,
VI! к Пт )хкеЕ