Оценки констант Харди для областей, обладающих специальными свойствами

• Автор: Шафигуллин, Ильнар Касыймович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
Глава

ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

§1.1 Оценки констант для декартовых произведений областей

§1.2 Геометрическая интерпретация формального доказательства

§1.3 Случай 12 х

§1.4 Оценки констант для тел, полученных вращением произвольной

фигуры вокруг прямой

Глава

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ КОНСТАНТ ХАРДИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С РЕГУЛЯРНОЙ ГРАНИЧНОЙ ТОЧКОЙ

§2.1 Предварительные результаты
§2.2 Известные определения регулярных граничных точек
§2.3 Э-регулярные граничные точки
§2.4 Точные нижние оценки сильной константы Харди
Глава
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ КОНСТАНТЫ ХАРДИ ДЛЯ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
§3.1 Случай произвольной плоской области
§3.2 Пространственный случай
§3.3 Обобщение на случай Ьр

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена исследованию констант в неравенствах типа Харди. В рамках данной работы рассматривается лишь случай интегральных неравенств.
Неравенства типа Харди дают связь, в одномерном случае, между функцией и ее производной, а в многомерном случае — между функцией и модулем ее градиента.
Приведем основной вид такого рода неравенств, полученных и опубликованных Г.-Х. Харди в начале 20 века (см. [44]):

J ^<1х < А J //2с1х, (0.0.1)

где / — абсолютно непрерывная функция / : [0, оо) —> М такая, что /(0) = 0, / ф 0, Е 1?{0, оо). В данном неравенстве константа 4 является точной, но не существует экстремальной функции / ф 0, на которой достигается равенство (см. [44]).
Актуальность темы. Существует множество направлений, в которых обобщались одномерные неравенства типа Харди вида (0.0.1). Так, например, Дж. Таленти [73] и Дж. Томаселли [75] получили условия на весовые функции в одномерных неравенствах типа Харди, которые необходимы и достаточны для выполнения соответствующего неравенства с некоторой конечной константой. Ряд других интересных и важных результатов по одномерным неравенствам типа Харди получили В.Г. Мазья [59], В.Д. Степанов [14], [72], А. Куфнер [10] и Л.Э. Перссон [52], В. Левин [56], Ф.Г. Авхадиев и К.-Й. Вире [22], [24], Д.В. Прохоров [12] и другие (например, [67], [64], [63]).
Бурное развитие теории неравенств типа Харди обусловлено, в первую очередь, ее широким применением в различных областях математики и математической физики. В частности, данные неравенства широко

используются в теории вложения функциональных пространств (см. [13]), также С.Л. Соболев применял их при оценке потенциала Рисса. Ф.Г. Авхадиев в [2] использовал неравенства типа Харди при оценке жесткости кручения. С изучением отрицательности спектра двумерного оператора Шредингера связаны результаты А. Лаптева и Т. Вейдла из статьи [54]. Работы А. Балинского и А. Лаптева по тематике неравенств типа Харди связаны с проблемой существования резонансных состояний. Более подробно с приложениями неравенств типа Харди можно ознакомиться в работах [13],
Неравенствам типа Харди посвящено множество современных работ различного содержания. Но есть и множество нерешенных задач. Особенно это касается многомерного случая. Некоторым из этих нерешенных задач посвящена данная диссертационная работа.
Наиболее существенным обобщением (0.0.1) стали неравенства типа Харди в многомерных областях:
где О — произвольная область из евклидова пространства Мп, 6 — 5(х) = сЛэДж,^) — функция расстояния до границы области, V/ — градиент функции / : О —► И. Ввиду того, что в неравенстве присутствует функция расстояния до границы области, вводится естественное ограничение на область П ф Ж", иначе <5(ж) = оо и неравенство потеряет смысл.
Если вопрос с константой в одномерном неравенстве вида (0.0.1) исчерпан, т. е. константа найдена, и она точна, то в многомерном случае (0.0.2) значение этой константы, вообще говоря, зависит от вида области. Большинство известных результатов в данном направлении получены для отдельных классов областей, обладающих некоторой особенностью. Так, например, рядом математиков различными способами было показано, что для любой выпуклой области С Кга константа с„(0) равна 4 (см. Е.Б. Дэвис [37], Т. Матскевич и П.Е. Соболевский [60], X. Брезис и М. Маркус [33], М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев [46]).
Достаточно распространен подход, при котором для классификации
[26], [36], [38], [40], [47], [48], [65], [76], [78], [79], [1], [5], [32], [50], [51], [69].
(0.0.2)
Докажем первое утверждение. Для этого рассмотрим расстояние между двумя произвольно фиксированными точками при линейных преобразованиях:
МзЬ{хх,х2) = у!(х - х)2 Н ~ (ж* — ж£)2 =
= /а2(?/1 - Ух)2 + •' • + а2(Уп ~ у) = adistiy1, у2),
где хх — аух +Ь и х2 = ау2 + Ъ.
Осталось показать, что если расстояние до границы от некоторой точки хх реализовывалось до некоторой точки х2, то после линейного преобразования координат расстояние от ух будет реализовываться до точки у2. Предположим, что это не так, и существует некоторая точка у3 такая, что
^(ух,у3) < сШ(ух,у2),
но тогда
т-гсНзНж1, ж3) < 1—гсЛвНт1, ж2),
|а| |а|
а это противоречит нашему предположению о том, что расстояние от точки ж1 реализуется в точке ж2.
Второй факт доказывается простой цепочкой утверждений, во многом аналогичной одномерному случаю. Новые координаты через старые будут выражаться согласно следующим формулам:
Хг-Ъ . -—
уг =-------, г = 1 ;п

при этом частные производные будут равны
= 0 Zijj = Туп, г ф ^
Тогда, частная производная функции / по переменной ж* в новых координатах по формуле производной от сложной функции будет равна
д/ д/ ду! + д£_ду2 ^ д/_дуп _ д/ ду1 = д/
дх1 духдхг ду2дхг дупдхг дyiдxi дгд а'
Теперь найдем модуль градиента /: