Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных

• Автор: Пузанкова, Евгения Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Оценка разности спектральных функций для степени оператора Лапласа

1.1 Необходимые определения и утверждения

1.2 Свойства собственных чисел степени оператора Лапласа

1.3 Оценка разности спектральных функций

2 ГЛАВА. Обратные задачи спектрального анализа для

оператора Лапласа

2.1 Постановка задачи

2.2 Оценка ядерной нормы резольвенты оператора Тд .

2.3 Обратные задачи спектрального анализа и интерполяция по Л. Карлесону

2.4 Восстановление потенциала в обратной задаче спектрального анализа для возмущенной степени оператора Лапласа в пространстве К
2.5 Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом в пространстве

Список литературы

Основные обозначения
Введем используемые в работе обозначения.
Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами латинского алвавитд.
К — множество действительных чисел.
N — множество натуральных чисел.
С —множество комплексных чисел.
Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского алфавита.
Обозначим через Ьр = ЬР(М) — банахово пространство измеримых функций на области М С1"с нормой
Loo — Loo[M] — пространство комплекснозначных, измеримых, существенно ограниченных на М функций с нормой
И/Иоо = vrai sup|/(z)|
І • І — евклидова норма в М".
||Лі||
ІІЛІІ = вир ■■ ■ - равномерная норма оператора А.
іми ІИІ
Считается, что і = у/—1 и в другой роли буква і не использу-
Символом Е обозначается единичный оператор, область определения которого ясна из контекста.

ется.
Введение
Диссертация посвящена решению прямых и обратных задач спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных: изучению спектральной функции и получению формулы первого регуляризованного следа для возмущенной степени оператора Лапласа, а также решению обратной задачи спектрального анализа для этого оператора.
Актуальность проблемы. Многие вопросы математической физики приводят к проблеме спектрального анализа дифференциальных операторов, то есть к исследованию спектра и разложению заданной функции по собственным функциям дифференциального оператора. Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих ’’прямых” задач квантовой механики.
Характерным подходом в исследовании спектра является изучение асимптотики спектральной функции и вычисление регу-ляризованных следов дифференциальных операторов. Хорошо известно, что сумма собственных значений матрицы легко вычисляется и равна сумме диагональных элементов. В классической работе В.Б. Лидского [44] установлено, что матричный след совпадает со спектральным следом у ядерных операторов. Его доказательство основано на й-числах операторов и методах теории функций комплексного переменного. Возникает вопрос об аналоге
< const • п-2(1-£)(/?-27/40+<5)(|р| + £^0-27/40+^-2^ const > Q
Отсюда, с учетом соотношения 2(1 — е)(Р — 27/40 + 5) > 1, для суммы /з получаем:
,-2£ °? dx
h < const (|/?| + С-ап9т 27/40+5) £ J

x2(l-e)(0-27/4O+S)
„1—2(1—е)(/1—27/40+<5)
= const (M + Csni-W*’) 1_2(1_е)(/3_27/40 + г)
= (И + C'sn;;r!'/10,"'p
Теорема доказана.