Некоторые вопросы представления в весовых пространствах голоморфных и n-гармонических функций со смешанной нормой

• Автор: Ярославцева, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 154 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЕКТОРЕ! ДВОЙСТВЕННОСТЬ И ДИАГОНАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ со СМЕШАННОЙ НОРМОЙ.
§1.1. Доказательство вспомогательных утверждений
§1.2. Непрерывные проекторы в пространствах Нр{с5)
§1.3. Представление линейных непрерывных функционалов
в пространствах Нр(гд), 1 < р < Ко
§1.4. Представление линейных непрерывных функционалов
в пространствах (со). О < р <
§1.5. Диагональное отображение в пространствах-«(3)
ГЛАВА 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЖШЙНЬКШПРЙРЁШЙВК ФУНКЦИОНАЛОВ В ВЕСОВЬБХ ПРОСТРАНСТВАХ п -ПЛРМОНИЧЕСКИХ И ПЛЮРИГАРМОНИЧЕСКИХ В ПОЛИДИСКЕ ФУНКЦИЙ.
§2.1. Доказательство вспомогательных утверждений
§2.2. Представление линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах и — гармонических и плюрнгармоничееких
в полидиске функций при 1 < р < +оо
§2.3. Представление линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах я - гармонических и плюрнгармоничееких
в пояидиске функций при 0 < р <
§2.4. Диагональное отображение в весовых пространствах
плюрнгармоничееких в полидиске фулпеций
ГЛАВА 3. Ш'ЛЬТИПЛГЖАТОРЫ В НЕКОТОРЫХ АЖ1301Р011НЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
§3.1. Доказательство вспомогательных утверзкдений
§3.2. Описание мультипликаторов да Нр(т) в 1Р
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования. Теория функциональных гфостранств со смешанными нормами, введенных в 60-х годах А,Бенедеком и Р.Панцоне (см. [1]), играет существенную роль в теории функций, функциональном анализе и их приложениях. По этим вопросам опубликован ряд фундаментальных работ (см. [2-4]). В основном эти исследования проводились в вещественной облает В комплексной области интенсивно
исследовались пространства гармонических и голоморфных функций с обычной Ьр -метрикой: пространства типа пространств Харди Нр (см. [5,6,10,12,13]) и пространства типа Бергмана Ар (см. [7-9]). В связи с этим возникает необходимость изучения весовых пространств со смешанной нормой голоморфных. п — гармонических,
плюригармокических функций в по л или линдричес ких областях. Поэтому можно сказать, что тематика диссертационной работы весьма актуальна.
Цель работы - исследование пространств голоморфных, «-гармонических, плюрнгармоничееких функций со смешанными нормами.
Для реализации поставленной цели решены следующие задачи:
- построен линейный ограниченный проектор го 1/(о) на Нр(йЗ) и из Ър(т) на Нр(ёу,
- получено полное описание .линейных непрерывных функционалов на пространствах голоморфных, п—гармогагтгеких, плюригармошнеских функций со смешанным! нормами;
- дана характеризация следов функций пространств голоморфных и плюригармонических функций со смешанной нормой на диагонали полидиска;
- получено полное описание мультипликаторов го указанных пространств в 1Р пространства.
Методы исследования. В диссертации использованы общие методы линейного и комплексного анализа, а также более специфические методы теории сингулярных интегральных операторов. В работе существенную роль играют интегральные представления исследуемых классов функций посредством известных ядер.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер и может наши применение в других вопросах теории функций одной и нескольких комплексных переменных, в теории операторов, в гармоническом анализе.
Апробация работы. Результаты исследования нашли отражение в пяти печатных работах, доклада! вались на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997 г.), на семинаре по комплексному анализу Брянского госпедуниверситета им. акад. ИГ.Петровского (Брянск, 1995-1998гг.). Основное содержание диссертации отражено в работах [40-45].
Работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. Прежде чем приступить к обзору результатов диссертации, заметим, что задачи, решаемые в ней, так: или иначе связаны с изучением интегральных представлений некоторых классов голоморфных и п - гармонических в единичном полидиске функций.

Отметим также, что метод интегральных представлений - традиционный метод комплексного анализа. Классическими примерами являются формулы Коши, Шварца, Пуассона и интегральные представления с воспроизводят!тми ядрами. Они играют существенную роль в работах специалистов как одномерного, так и многомерного комплексного анализа. Укажем, например, монографии [6], [10-13], на работы [9], [14-20]. В диссертации существенную роль играют интегральные представления с ядрами, одномерные аналоги которых были введены М.М.Джрбашяном еще в 1945 году [19] (см. также [20] ). Для обзора результатов диссертации по главам введем следующие обозначения. Пусть Сг" = (г = гп): г, < 1,/ = 1,и}- единичный полидиск в п-
положительные
мерном комплексном пространстве С", Тп - его остов, р = (ри
правнлыю меняющиеся функции на (ОД], / = 1, п. Обозначим через I/(со) пространство
измеримых в и” функций /, .для которых
1/'!!
[ (т - с„ |{ | &>„_! (1- - ІСп-і !)[ | |/(Сі ,-Лп Г
НІЬпл)

ат2п)

< +00,
(0.1)

где йк- - 2-меркая мера Лебега на и. Подпространство I/(со), состоящее из
голоморфных в ип футшцш, обозначим через Нр(3). Подпространство !/(&),
состоящее из н-гармонических в IIа функций, обозначим через кр(а>).
Напомним (см. [21]), что классом функций, правильно изменяющихся на промежутке (£Ц], называется множество измеримых функций е>, удовлетворяющих адедукицнм свойствам :
а) соЩ >0, і є(0,!|:
б) существуют положительные числа ам.тм є(0ДІ М „ >0 такие, что
•* 'О)- и) 7 /' С;?
та < < М0, г є(0.1) Я Ф'-оА
оокг)
Множество таких функций обозначим через 5. Учитывая результата работы [21]. можно установить, что со є 8 тогда и только тогда, когда существуют ограниченные измеримые
функции Г], с: на (ОД] такие, что

€*(*/} }
(0.2)
со(х)=

р(х)+ Гі, х є(0ДІ
при этом
т тл

?(и):
1пМ„ 1п

(од]
(0.3)

Г 1 >
Лп Т K*F 1Ам>!
Ч У У
+oo 2*>-l
S Z
*,=0/1=-2 Л
< constj f f )

Берем максимум по £2 > умножаем на й)2 Л

KJ2 Дд_2 J2 |, суммируем и возводим в
ч /
степень

( +«> 2-1 Г +СО 2*1-!

*2=0Д,=~2'
,Ь С2еАЬ&
,=04=-251 Й

Г п ч
4„ r ®i 1 С-4 <1 -S4 <1
Ч У
Г ~N > Рг
X ÜJ2 KJ2 !У .41 < const
ч У V
+со 2л
Z Z Лах f №»’£)
- ,Г-2 [~г
Xö)i(1-11 2(1)
s £_£.
Fl 1
6>2 1АМг!2 M
4 J

Так как функция - субгармоническая по г2 в[/, го функция

j I/(v-.*X ®i(! ” hlVS)
будет субгармонической но z2 в С/ по лемме 1.4. Но тогда к этой функции снова можно приметать лемму 1.А.

( +ж 2
. - _ (+оо 2
I У -'их | У У шах !/'(м,-,С/Г
4lilA
К .4)2

X СОо
1д, , U
I -’ 2 i

*2 ,‘2 i

Рг
< const