Интегрирование представлений бесконечномерных алгебр ли и некоммутативная проблема моментов

• Автор: Далецкий, Алексей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 117 c. : ил

ГЛАВА I.
§ І.І.

§ 1.2. § 1.3.

Глава II. § 2.1. § 2.2.

§ 2.3.
Глава III.

§ 3.1. § 3.2. § 3.3.

Интегрирование представлений бесконечномерных

алгебр Ли

АЕ-алгебры Ли. Интегрирование представлений

АЕ-алгебр Ли

Алгебры и группы Ли гладких токов
Бесконечномерные разрешимые и нильпотентные
алгебры Ли
Некоммутативная' проблема моментов
Конечномерная некоммутативная проблема моментов Некоммутативная проблема моментов на АЕ-алгебрах

Пример. Проблема моментов для представлений канонических коммутационных соотношений .... Гауссовские представления канонических коммутационных соотношений в форме ГордингаВайтмана
Представление группы сдвигов ядерного
пространства
Представление ядерного пространства операторами
сдвигов с гауссовским коциклом
Критерий эквивалентности гауссовских представлений канонических коммутационных соотношений
Литература
Источником интереса к задачам, связанным с ш локально компактными группами Ли, являются с одной стороны, приложения: изучение математических моделей физических систем с бесконечным числом степеней свободы, в частности, систем квантовой статистической физики и теории поля, а так же теория точных решений нелинейных уравнений, и, с другой стороны, внутренняя логика развития теории представлений. Многочисленные работы посвящены как развитию теории таких "больших"групп (работы Де ла Харпа I 69 ] , Омори [81] , Босека, Чеховского, Рудольфа [67 ] и др.),
так и изучению их представлений (А.М.Вершик, И.М.Гельфанд, М.И. Граев [12 - 16 ] , Р.С.Исмагилов [28 - 34 ] , А.А.Кириллов
[35 - 40 ] , Г.И.Ольшанский [ 48 - 51] , Араки [б4 - 66 ] ,
Хегерфельд [ 77, 78 ] , Леповский, Вильсон [ 79 ] и др.).
Большую роль в исследовании представлений коммутативных групп играют методы теории меры (см., напр., монографии И.М. Гельфанда, Н.Я.Виленкина [19 ] и Ю.М.Березанского [ 4, 5 ] ). Естественным является развитие возникающих при этом вероятностных аналогий в некоммутативной ситуации. Например, как и вероятностная мера, представление может быть задано с помощью положительно определенной функции (И.М.Гельфанд, М.А.Наймарк [ 20 | И.Сигал [ 85 1 ), конструктивно - с помощью меры и коцикла
(Гординг, Вайтман [ 74 ] , Араки[б4,66], Войкулеску, Страшила [ 90 ] , И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин 19 ] и др.), и с
помощью некоммутативного аналога моментов (Воронович 91 ] ,

Пауэрс [ 82 ] , Рихтер [ 84 1 , Шмюдген [ 87 j ).
Основная тема диссертации - некоммутативный аналог проблемы моментов и возникающие при этом задачи интегрирования представлений алгебр Ли. Теория интегрирования представлений конечномерных алгебр Ли построена Нельсоном [ 80 ] и развита Фла-то, Симоном, Снеллманом и Стернгеймером [ 71, 72, 86 ] .В диссертационной работе дается обобщение этой теории на случай некоторых бесконечномерных алгебр Ли.
Кроме того, в работе рассматриваются гауссовские представления канонических коммутационных соотношений (см. работы A.C. Холево [ 60 - 62 ] , Араки[60,66J , Ван Даэле|80, 89 ] ) с бесконечным числом степеней свободы - некоммутативный аналог гауссовой меры - в форие Гординга-Вайтмана. Конструктивная Форша задания (с помощью меры и коцикла) позволяет использовать при их изучении свойства гауссовых мер в бесконечномерных пространствах.
Перейдем к более подробному изложению результатов работы. Первая Глава IIосвящена вопросам интегрируемости некоторых бесконечномерных алгебр Ли.
Существует взаимнооднозначное соответствие между связными односвязными локально компактными группами Ли и конечномерными алгебрами Ли (см.,напр., [35, 52, 93 ] )• Действительно, каждой такой группе можно поставить в соответствие алгебру Ли -ее касательное пространство в единице, определив скобку Ли как коммутатор векторных полей. Наоборот, по алгебре Ли
3) определения, перейдя от допустимого множества
<= Ак,к‘ I к] к допустимому множеству Е1 - в,. ,
Л» і < т С ' ^ к,
Іс.єЛк,, I,.-- , л ].
Легко видеть тогда, что
»5 I С«И - і • (1.3.4)
Пусть теперь 3 - неотрицательный полулинейный функционал на обертывающей алгебре , т.е. такой, что для любых

5(£ х +х-^) ^ |^| 3(сс)+ |ъ| £(^).
Теорема 1.3Л. Пусть <£ - подмножество допустимого тотального множества Е такое, что для любого х є <5
*(«') + АЪкЪг, (1.з.5)
где постоянные Л и В не зависят от г и к .
Тогда для любого мультииндекса <***.) такого,
что все ЗСо. Є £ , тлеет место оценка
* смиМ ! (1.3.6)
с некоторыми постоянными С и М , не зависящими от о<
Доказательство. Доказательство проведем по индукции по ^. При И = і алгебра Ли % коммутативна и утверждение очевидно. Пусть утверждение верно при гь = оі , докажем его при
Заметим, во-первых, что оценку (1.3.4) можно считать выполненной, т.к. переход от £ к К і не нарушает оценок (1.3.5).
Оценим значение функционала 5 на элементе ОС.^ . Для этого воспользуемся формулой (І.З.І) и легко проверяемой по ин-