Некоторые вопросы геометрии регулярно упорядоченных банаховых пространств

• Автор: Энеева, Лиана Магометовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 82 с.

Содержание
Введение

Глава 0 Предварительные сведения

Глава 1 Геометрия гильбертовых пространств

§1 Круглый конус в гильбертовом пространстве

§2 Непрерывность оператора х -)■ |ж| в гильбертовом

пространстве

Глава 2 1_ - ортогональность в нормированных прост-

ранствах с конусом

Глава 3 Геометрия упорядоченных банаховых пространств

§1 Строгая выпуклость и гладкость на конусе.
Равномерная гладкость и равномерная выпуклость на конусе
п.1 Строгая выпуклость и гладкость на конусе
п. 2 Равномерная гладкость и равномерная выпуклость на конусе
§2 Геометрия конусов в банаховых пространствах .
§3 Достижимые пространства
Заключение
Литература

Введение
Многочисленные исследования конусов в нормированных, а также в более общих линейных топологических пространствах привели к созданию большой теории - геометрии конусов. Эта теория является актуальным разделом функционального анализа и находит важное применение во многих областях математики.
Геометрией конусов, в первую очередь в банаховых пространствах, начали заниматься в тридцатых годах М.Г. Крейн и его ученики. Одновременно в этом направлении работали ленинградские математики во главе с Л.В. Канторовичем. Значительное внимание они уделили нормированным полуупорядоченным пространствам - условно полным нормированным векторным решеткам. Вулих Б.З. и Пинскер А.Г. разрабатывали теорию попуупорядоченных пространств (пространств с конусами специального вида), названных в честь Л.В. Канторовича К-пространствами. В пятидесятые годы большой вклад в теорию конусов в банаховых пространствах внесли представители воронежской математической школы во главе с М.А. Красносельским. Большим вкладом в теорию конусов в банаховых пространствах явились работы Бахтина И.А., Стеценко В.Я., Вейца Б.Е. и дрз'гих. Начиная с середины пятидесятых годов, математики разных стран, следуя общей линии развития функционального анализа, приступили к изучению конусов в линейных топологических пространствах, обобщая многие понятия, введенные ранее в нормированных пространствах.
Вместе с тем, если к настоящему времени теория решеток достаточно хорошо разработана, то в теории конусов в банаховых пространствах остается много открытых вопросов.

Хорошо известно, что общая теория банаховых пространств с конусом и теория банаховых решеток требуют привлечения различных идей и разной техники. Существенной трудностью является невозможность использования теорем реализации, которые очень эффективны в случае, когда пространство с конусом - банахова решетка. Поэтому не лишено интереса специальное изучение конусов в нормированных пространствах, чему и посвящена данная работа.
Хорошо известными в теории полуупорядоченных пространств являются работы Крейна М.Г. и Рутмана М.А. [19], Вулиха Б.З. [10], [11], Красносельского М.А. [18], Крейна М.Г. [7], Канторовича J1.В. [15], Бахтина И.А. [4] - [6], Шефера Х.[39] и другие.
Диссертация посвящена изучению регулярного конуса в банаховом пространстве. Понятие регулярного конуса восходит к Davies Е.В. [40] и нашло широкое применение в теории тензорных произведений банаховых пространств, теории банаховых решеток. Однако, регулярный конус оказался мало изученным в пространствах, не являющихся решеточными.
В диссертации рассмотрены банаховы пространства, в которых порядок задается строго регулярным конусом. В этом случае порядок и норма согласованы наилучптим образом, что дает возможность рассмотреть некоторые чисто порядковые понятия в терминах теории банаховых пространств. В гильбертовом пространстве понятие регулярного конуса равносильно понятию самосопряженного конуса (см. [29]).
Для доказательства основных результатов диссертации используются методы теории банаховых пространств и теории упорядоченных банаховых пространств. После доказательства основных теорем в диссертации следует обсуждение в виде примеров и утверждений, обосновывающих полноту и точность формулировки.

Ы ~ Ы\ = |И|Я1| - Л|л||| = WAxti - Иуг|1|| = Щжи - Ы1||. Тогда
||х-у|| = \АХ1-АУ1\ = ||Ж1-У1|| > |||*1| -|*л||| = |||а?|1 - Ы1Ц-
Теорема доказана.
Отметим, что из теоремы следует, что оператор х -+х равномерно непрерывен на Н.
Аналогично, определив отображения х —>• х+; х -* ®_, где х+ —
Ы+я 1а;| — а:
—-—; X— = —-—, получаем
Следствие 1.1. Отображениях -» х+; х -> ж_, липшиц-непрерывны, то есть,
||®+ “ »+II < II® - »11; II®- - »-II < II® - »
Справедливость этого утверждения вытекает из непрерывности х —>• |ж|. Кроме того,
11®+-»+II =

2 2 2 '
< 1(||1®1 -1»1|| + II® - »11) < 1||® - »11 +1||® - »11 = II® - »11;

I®- ~ »-II
М-® 1»|-»
1»1 [ —® + У
< ^(||М -1»1|| + II - ® + »11) < ^11® - »11 + ^11® - »11 = II® - »