Некоторые вопросы нелокального анализа фредгольмовых уравнений с параметрами

• Автор: Борзаков, Антон Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 101 с. : ил.

1 Конечномерные редукции в бифуркационном анализе вариационных краевых задач (для фредгольмовых уравнений)

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях

1.2 Бифуркации решений фредгольмовых уравнений с параметрами

1.3 Общая схема конечномерных редукций

1.4 Операторная схема Ляпунова - Шмидта (локальная)

1.5 Приближенное вычисление ключевой функции

1.6 Редукция Ляпунова-Шмидта как обобщенная ритцевская аппроксимация

1.7 Нелокальная вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта

1.8 Редукция Морса-Ботта

1.9 Топологическое сравнение редуцирующих схем

1.10 Конечномерные редукции и упрощение задач

1.10.1 Стационарные осесимметричные течения в цилиндрическом гидроциклоне
2 Приближенные методы в нелокальном анализе вариаци-

онных задач на основе конечномерной редукции
2.1 Трансверсальность семейств функционалов своим особенностям
2.1.1 Функционал в окрестности вырожденной критической точки
2.1.2 Трансверсальность особенностям
2.2 Построение приближенной ключевой
функции методом Галёркина
2.2.1 Уравнение без параметра
2.2.2 Уравнение с параметром
2.3 Метод Галеркина в реализации схемы Ляпунова-Шмидта.
Основной вычислительный алгоритм
2.3.1 Схема вычислительного алгоритма
3 Нелокальный анализ некоторых вариационных задач на основе конечномерной редукции
3.1 Фазовые переходы в кристаллах. Сведение к уравнению
колебаний маятника (редукция Дзялошинского)
3.2 Схема Ляпунова - Шмидта для уравнений Дуффинга и
колебания маятника
3.3 Подходы к оценке результатов
3.4 Результаты вычислений
3.4.1 Уравнение Дуффинга
3.4.2 Уравнение колебаний маятника
3.4.3 Краткая оценка результатов
3.4.4 Схема Ляпунова-Шмидта и приближение решений
3.5 Задача о периодическом решении для неоднородного уравнения Дуффинга

Приложение (программные коды Мар1е)
Получение неравенств при рассмотрении трансверсальности
Реализация основного алгоритма на базе схемы Ляпунова-Шмидта 87 Литература

Е = Еп@ Е^-п могут служить удобной основой для создания алгоритмов вычисления обобщенных ритцевских аппроксимаций - приближений ключевой функции.
Опишем одну из возможных процедур создания алгоритма. Предположим, что для V выполнено условие (Ь), состоящее из следующих четырех требований:
1) Е = У (конфигурационное пространство и пространство значений градиента совпадают);
2) для градиента имеет место представление f(x, 8) = I + с(х, 8), где с — вполне непрерывное отображение из Е х Д в Е (условие представимости градиента в форме Лере - Шаудера);
3) существует такая последовательность конечномерных подпространств
{Еп+т} = Еп+о = N С Еп+1 с Еп+2 С ... С Еп+т С ... ,
что последовательность ортопроекторов Рт : Н —» Еп+т сильно сходится к единице на пространстве Е
4) ограничение V|„ является коэрцитивной функцией.
Ясно, что отображение Рд0О_п/ (1.14) тогда тоже представимо в форме Лере - Шаудера: /^(у,8) = I + с^(у,8). Следовательно, уравнение /((у, 8) = О, определяющее Ф(£) (1.15), можно решать (приближенно) на основе галеркинских аппроксимаций
V + с^(у, <5) — О, V е П Еп+т, (2.4)
С(у, 8) := Рп+т (ё{(у, <$))
(см. [8], [33]). Уравнение (2.4) можно приближенно решать на основе разнообразных вычислительных процедур, разработанных для конечномерного случая [2], [33] (переход к галеркинской аппроксимации этим и оправдан).