Исследование сходимости формулы Карлемана-Голузина-Крылова в классических метриках

• Автор: Барт, Виктор Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 127 с.

Оглавление
Оглавление
Введение.
0.1 Общий обзор работы
0.2 Обозначения
0.3 Свойства функции С?
1 Оценки норм операторов (ССК)а на диск-алгебре.
1.1 Остаток формулы (СОК). Формулировка основного результата
1.1.1 Оценка функционалов Я* на пространстве А
1.1.2 Функции Ландау
1.2 Обозначения
1.3 Доказательство утверждения (а) Теоремы
1.4 Доказательство утверждения (б) Теоремы
1.4.1 Разбиение дуги Ь„
1.4.2 Оценка снизу интеграла |с(®тС?'’(1)|
1.5 Вспомогательное Предложение
1.6 Дополнение к Главе 1: о точности пункта а)
в Теореме
2 Оценки норм операторов (СйК)а на пространстве Н1.
2.1 Формулировка основного результата
2.2 Пример Рисса
2.3 Доказательство теоремы
2.3.1 Обозначения
2.3.2 Подготовка
2.3.3 Оценка интеграла III

3 Формула Карлемана-Голузина-Крылова и аналитические функции, гладкие вплоть до границы.
3.1 Некоторые обозначения.
Теорема Харди-Литтлвуда
3.2 Подготовительные утверждения
3.3 Основная теорема о гладкой сходимости
3.4 О точности оценки в Теореме
3.5 Сходимость формулы (СОК) в пространствах функций высокой гладкости
4 Задача Маккина о весовой тригонометрической аппроксимации
и формулы типа (СОК).
4.1 Введение и дополнительные обозначения. Конструкция Сеге
4.1.1 Классическая формула (СОК) и весовая аппроксимация
4.1.2 Обозначения
4.1.3 Внешние функции
4.1.4 Возможность весовой аппроксимации: доказательство
4.1.5 Об одном вопросе Маккина
4.2 Подготовка к доказательству основной теоремы
4.2.1 Лемма Патила
4.2.2 Веса, отделенные от нуля и близкие к данному весу
4.3 Явная конструкция весовых приближений функциями класса Харди.
4.3.1 Ганкелевы операторы, осуществляющие весовую аппроксимацию
4.3.2 Аппроксимация с неограниченным весом
4.3.3 Весовая аппроксимация "положительной"гармоники линейными комбинациями "отрицательных"
(задача Маккина)
Литература

Введение.
0.1 Общий обзор работы.
Формула Карлемана-Голузина-Крылова (СйК) восстанавливает аналитическую в единичном круге В функцию / класса Харди Н1 (ГО) по ее граничным значениям на множестве Е С Т = {г : г = 1} положительной меры Лебега. А именно, полагая
где z G ГО, а > 0, Q — внешняя функция в D, причем выполнено равенство
Формула (CGK) была впервые построена в статье [1], где, в частности показано, что предел в (CGK) можно понимать в смысле равномерной сходимости на компактах круга ГО. Она подробно описана также в монографиях [2, 3, 4]. В книге [3] значительное внимание уделено многомерным вариантам формулы (CGK). В статье [5] Д.Патил доказал, что сходимость в (CGK) имеет место по норме пространства Харди Нр, 1 < р < оо, если / € Нр. В работе [6] описаны модификации (CGK) (в частности, для Е С DUT), применимые для доказательств теорем единственности для различных классов аналитических функций, гладких вплоть до границы.
е, п.в. на Е 1, п.в. на Т Е,
имеем
f(z) = lim (CGKUf)(z).
{CGK)

Устремив г к 1 изнутри О, получим:
ки) = С%'{ 1) - с£°{1) + /(1), (1.4)
|^(/)|<|С^(1)| + |С7^(1)| + 1.
Оценим первый интеграл с помощью правила Лопиталя: Сг м
Гл м х
.. Jx 2sin(fl/2) _ .. 2sin(x/2) _
-log a; x|0 -(l/x)
(1.5)
и значит,

при а -+ +оо. Напомним, что й — фиксированное число, не зависящее от сг . Второй интеграл в (1.4) ограничен:
1^5 (2)1 тах {10401, г € 7Л,
где г1 — радиус дуги 7а. Ясно, что г7 < $/а. По Свойству 4 п.0.3 имеем |<3,т(4)| = е'7'Леф(‘) < етт°'А* <
таким образом,
и в итоге
1^(2)! (1.6)
Rl(f) < Со(6) + а„ где С0(6) не зависит от cr, а„ ~ A log а, <т -+ оо.