Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди Hp,1≤p≤ x

• Автор: Миркалонова, Мохирамо Мирафгановна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 81 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в пространстве Харди Нр, 1 < р < оо

§1.1. Определения и обозначения

1.1.1. Вспомогательные факты

1.1.2. Описание модулей непрерывности высших порядков

1.1.3. Наилучшее приближение функции /(г) £ П На

§1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических

(г) (г)
функций /{г) £ Нр П Нр:а, 1 < р < оо, структурные свойства которых характеризуются модулями непрерывности и гладкости 28 §1.3. Верхние грани наилучщих полиномиальных приближений на некоторых классах аналитических функций, задаваемых усреднёнными с весами модулями непрерывности высших

порядков или их мажорантами

§1.4. О некоторых обобщениях результатов Л.В.Тайкова и
Н.Айнуллоева о полиномиальном приближении аналитических

функций, принадлежащих классу
Глава II. Точные значения п-поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди
Нр, I < р < оо
§2.1. Определения и обозначения п-поперечников, классы функций
(г) (г)
§2.2. Значения п-поперечников для классов функций IУр,а

§2.3. О точных значениях n-поперечников для классов функций
Тг(г) тг(г) 7т(г) ('Ф') тг(г) /ф g7
•j га, §2.4. Точные значения n-поперечников для классов функций
ИФ;;;,(Ф./0 И wLr)(,M)
Литература
Введение
В настоящее время вопросам наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций и вычисления точных значений различных поперечников классов аналитических функций посвящено достаточно много работ, где уже получен целый ряд окончательных результатов. Первые точные результаты по наилучшим полиномиальным приближениям аналитических в круге функций принадлежат К.И.Бабенко [3] и Л.В.Тайкову [33-35]. Именно работа К.И.Бабенко [3] явилась отправным пунктом для получения точных значений колмогоровских поперечников в работах В.М.Тихомирова [36] и Л.В.Тайкова [33]. В последующих работах Л.В.Тайкова [34,35] и Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [2] в норме пространства Харди были получены точные значения поперечников в смысле Колмогорова некоторых классов аналитических в единичном круге функций, граничные значения которых допускают представление сверткой, либо усреднённый модуль гладкости их граничных значений мажорируется заданной функцией. В дальнейшем эта тематика нашла своё отражение в работах М.З.Двейрина [14-16], М.З.Двейрина и И.В.Чебаненко [17], Ю.А.Фаркова [39], S.D.Fisher [40], S.D.Fisher and C.A.Michelli [41], A.Pinkus [29], С.Б.Вакарчука [6-11], М.Ш.Шабозова [43-46], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [47], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [48] и многих других математиков.
Целью настоящей диссертационной работы является дальнейшее развитие этой тематики, связанной с вычислением точных значений различных поперечников классов функций, аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных.
Приводим краткое содержание диссертационной работы.
В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и вспомогательные факты, используемые в дальнейшем. Напомним, что

Следствие 1.2.2. В условиях теоремы 1.2.2. справедливо неравенство
Еп-1(1)р <
{тг/(2 п) тг/(2 га)
J со (/"; 2ж)р (1 — втпж) дх + п2 J со (/2х)рвтпхдх . о о
Представляет несомненный интерес получить оценки наилучшего приближения ЕпА/)р через усреднённый модуль гладкости самой функции и её второй производной.
В этом контексте имеет место следующая
Теорема 1.2.3. Для любой функции /(г) £ Нр21, 1 < р < оо и любого заданного и £ (0,7г/(2тг)], гг £ N справедливо неравенство

7Г 1 | {

Еп-ЛЛр <
2ип2 я-21 .‘ЩОДф-зш £*)<(*+

+ () IШ2{12х)рвпх<Ь I, (1.2.21)

причём неравенство (1.2.21) обращается в равенство для /о(г) = г' Доказательство. Введём в рассмотрение оператор

А/а, «) = ~ J /Д* + Ж) + /а(/ “Ж) (1 - 8Ш С&.

Из неравенства (1.2.3) сразу следует, что имеет место неравенство
£„-!(/)„ < 111Д11, < “2 {|1Д - -4(/")11р + И(Д)11,} . (1.2.22)