Некоторые вопросы теории нормальных семейств мероморфных функций

• Автор: Ошкин, Игорь Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 c. : ил

Обозначения.

С •

множество натуральных чисел;

- комплексная плоскость;

І) і - единичный круг на плоскости С ;

сіб'її;)--] ^ -р - гиперболическая метрика в D ;

1-І£Г

-И - сфера Римана;

Л/(Ю-) - - хордальная метрика на _0_ ;

4 - сферическая производная мероморфной

функции 4 •

Теория нормальных семейств мероморфных функций получила первоначальное развитие в работах П. Моцтеля. Интерес к этой теории обусловливается ее разнообразными приложениями.
Г. Жюлиа, А. Островский, К. Каратеодори, П. Фату и другие авторы применяли теорию нормальных семейств при исследовании распределения значений мероморфных функций, для изучения свойств конформных отображений, в теории (функциональных уравнений /см. [14]/.
Основной задачей теории нормальных семейств, играющей важную роль в многочисленных приложениях теории, является задача получения различных признаков нормальности. Исследования в этом направлении часто определяются гипотезой А. Блока или - как ее иногда называют в современной литературе - эвристическим принципом в комплексном анализе. Согласно данному принципу всякое условие, достаточное для того, чтобы любая удовлетворяющая ему в комплексной плоскости (С мероморфная функция сводилась к постоянной, одновременно является достаточным для того, чтобы семейство удовлетворяющих ему в единичном круге X) мероморфных функций было нормально в I).
Этот принцип иллюстрируется многими примерами. Одни из подобных условий, такие как существование трех исключительных значений функции М. равномерная ограниченность радиусов кругов на плоскости С , однолистно накрываемых голоморфной функцией [39], [го], известны давно. Некоторые условия нормальности в терминах распределения значений функции и ее производных получены в последнее время /см. [28]/.

Значительным самостоятельным разделом стала выделившаяся из теории нормальных семейств теория нормальных функций. Изучение нормальных функций было начато работами К. Иосиды Г«] и К. Носиро [му Современное состояние теории нормальных функций во многом определилось благодаря исследованиям 0. Лехто и К. Виртанена [30]. В этой теории можно выделить два направления, одно из которых изучает характеристические свойства нормальных функций, а другое - их граничное поведение, Нужно отметить, что некоторые результаты, первоначально полученные для нормальных функций, впоследствии переносились на нормальные семейства и занимали в теории нормальных семейств важное место /см. [31], [42]/.
Диссертационная работа состоит из двух частей. Исследования, вошедшие в первую часть непосредственно связаны с гипотезой А. Блока. Во второй части изучаются некоторые свойства нормальных функций. Каждая из частей разбита на три параграфа.
В § I доказывается критерий нормальности /лемма I/, который позволяет по семейству функций, если оно не является нормальным в круге _£) , строить в плоскости С непостоянную мероморфную функцию, в определенном смысле наследующую свойства функций этого семейства. Лемма I уточняет основной результат работы [42]|. Ее доказательство восходит к работам [31] и [38]. Этот критерий носит вспомогательный характер и используется далее при доказательстве теоремы I.
В § 2 изучается задача, сформулированная в сборнике нерешенных проблем, опубликованном У. Хейманом [27] в 1967 году, - образуют ли нормальное семейство в ]) голоморфные функции , удовлетворяющие при фиксированном

мД^н). /31
Ввиду исходного предположения о семействе £ существует такая непрерывная положительная функция уп (£) , £€(9^ >
что для любой точки иеС^ найдется отображение 6и£$ , удовлетворяющее условию |4(4а<ч))1 > т(ч) /см. [И] /. Сопоставим каждой точке ис 6 0^ фиксированное отображение
, удовлетворяющее указанному условию. Полагая в /31
и — МеСц} и.е(х , получаем
| ^^(м) /32
где Мг(и^ - к^сс^с ^ ? М,Ц, Так как функция
обладает свойством /Б/, то существует такая непрерывная неотрицательная функция М3(*) , г« а, , что для любого отображения -4 6 /ь имеем
К(4С5))им30),г«&<.
Следовательно, из /32/ получаем
11'(^(и))б!,(м) - (К^Ч) МА(и), М >
где ИА(и^ И2(и)(мз(и)+^ ,причем в качестве можно
взять любое отображение 4 £ £>
Пусть теперь функция ^ не обладает свойством /Б/. Тогда найдутся компактное подмножество К области и
последовательности точек , и отображений
»такие» чт° 4с *гъ(*пУ)
/П-^оо /. Последовательность функций как содержащаяся в аЬъсоогЬ^ф нормальна в области (ту