Замкнутые идеалы в алгебрах гладких функций

• Автор: Ханин, Леонид Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 135 c. : ил

Диссертация посвящена, описанию замкнутых идеалов в некоторых алгебрах гладких функций. Важнейшим средством такого описания являются теоремы о спектральном синтезе идеалов.
Интерес к структуре, идеалов в алгебрах функций возник в 30-40-х годах XX века, в связи с развитием функционального анализа, в частности, теории банаховых алгебр, гармонического анализа и теории дифференцируемых отображений. Описанию идеалов в ряде конкретных функциональных алгебр посвятили свои работы такие выдающиеся аналитики, как М.Стоун, ЛШзарц, Х.Уитни, Г.Е.Шилов, Б.Мальгранж,
А.Бёрлинг.
Все рассматриваемые в работе функциональные пространства, если не оговорено противное, предполагаются вещественными, однако полученные результаты почти, дословно переносятся на комплексный случай.
Прежде, чем сформулировать задачу спектрального синтеза идеалов, напомним основные понятия и введем соответствующие обозначения.
Цусть - некоторое множество непрерывных функций на локально компактном хаусдорфовом пространстве X , являющееся регулярной (в смысле Г.Е.Шилова) топологической алгеброй относительно поточечных операций над функциями.
Со всяким идеалом I в А. свяжем замкнутое множество <э(1) =(эс | = о при всех 4*1) , именуемое, спектром
идеала I . Если 6'(1) = {х] , ос€ X * т0 идеал Г называется примарным в точке .ос
Цусть р - замкнутое подмножество X . Обозначим Мр множество функций из <А , равных нулю на Р , и замыкание в Л

множества функций из Л, равных нулю в окрестности (своей для каждой функции) множества ¥ . Легко видеть, что Мр и Тр - замкнутые идеалы в Л со спектром V . Если Тр = М р , то Г называется множеством спектрального синтеза для алгебры Л
Мы предполагаем, что каково бы ни было замкнутое множество р с X > Для любого замкнутого идеала I в Л со спектром Р
Тр сІсМр , (I)
где нетривиальным является, конечно, только левое включение.
Хорошо известно, что (I) имеет место в том случае, когда Л -банахова алгебра, структурное пространство которой совпадает с X (для алгебр с единицей см. [221 , с. 40, для алгебр без единицы см. [19] , с.586). Для всех рассматриваемых в работе алгебр, не являющихся алгебрами такого типа, свойство (I) проверяется непосредственно.
При р , эс€ X , Мэе и суть замкнутые примарные
идеалы в точке X , причем М * является максимальным идеалом в Л . Согласно (I) для всякого замкнутого примарного идеала I в точке ос имеем 1Х с I с Мэс . Фактор-^алгебру будем называть локальной алгеброй в точке ос , а ее размерность - локальной размерностью алгебры Л в точке ос . Обозначим ТГ^ канонический гомоморфизм.
Для всякого идеала Т^Л определим его примарную компоненту 1Х в точке х € <г( I) как наименьший замкнутый примарний идеал в точке ос , содержащий I . Без труда проверяется, что 1х~1+1х (замыкание берется в Л ). При хєХ Хб’(І) полагаем по определению 1х = У£г. Для каждой точки х € X рассмотрим также идеал ІХ-ТГХІ в алгебре Л/у , именуемый локализацией идеала I в точке х

Формула для примарной компоненты идеала упрощается, если
< 00 при всех ос€ X . (2)
^ * А /7
Действительно, цри х€<э (I) идеал I + J0C='ÏÏ’X (IT* I) замкнут в1и, следовательно, I х = I + J*
Будем говорить, что в алгебре Л имеется спектральный синтез идеалов (обозначение :Jt€Sirit ), если для всякого замкнутого идеала I в Л
I ^ас * (3)
Классическая постановка (3) задачи спектрального синтеза идеалов для функциональных банаховых алгебр принадлежит Г.Е.Шилову [221
Заметим,, что наличие какого-либо представления замкнутого идеала I в виде пересения замкнутых цримарных идеалов влечет (3). Укажем также на то, что для идеалов Мр равенство (3) следует из определения спектра.
Для всякой алгебры Л со свойством. (2) утверждение Л& Sint допускает следующую эквивалентную формулировку : для любого замкнутого идеала I с Л
если feA и цри каждом océX ix , (4)
то ^ 6 I.
Обзор результатов о спектральном синтезе идеалов в функциональных алгебрах мы начнем с банаховой алгебры С(Х) всех непрерывных функций на хаусдорфовом компакте X . Как показал М. Стоун [43], всякий замкнутый идеал I в С(Х) имеет вид
I - м р , где F = б*(1), (5)
и, следовательно, С(Х) € Sint (элементарное доказательство этого факта можно найти в [22] , с. 34-35). Более общо, свойство (5) имеет место в алгебре С(Х) всех непрерывных функций на локально компактном хаусдорфовом пространстве X с топологией равномерной

чественное) свойство может, таким образом, служить эквивалентным определением Р -алгебр.
Из регулярности алгебры Л и (7.2) следует, что в любой Р -алгебре для всякого замкнутого множества р с X
Тр=Мр. (7.3)
Кроме того, из (7.2) вытекает, что = Л 1,, . Таким об-разом, в Р -алгебрах наименьший замкнутый идеал с любым данным спектром допускает представление (3) (см. введение). Заметим, что для наибольшего замкнутого идеала с тем же спектром равенство (3) равносильно определению спектра и справедливо в любой алгебре. Ниже. будет показано, что для Р -алгебр свойство синтеза (3) может быть "цроинтерполировано" на любой промежуточный идеал с тем же спектром.
Отметим, что условие (7.2), определяющее класс Р -алгебр, представляет собой некоторую теорему продолжения типа леммы 6.3. Таким образом, проверка принадлежности данной алгебры к классу Р -алгебр по существу носит1 аналитический характер.
Рассмотрим, некоторые примеры Р -алгебр.
1. Алгебра С (X).
В алгебре С(Х) , как отмечалось во введении,для любого замкнутого множества ГсХ 1р=мр. Отсюда следует, в частности, что в ней отсутствуют ненулевые точечные цроизводные. Итак, условие; (7.2) для алгебры С (К) выполнено тривиальным образом.
2. Алгебра бір (X
К ней применимо все сказанное по поводу алгебры С(Х).
3. Алгебра бір(Х,р).
Для любой функции ^ М р , где Р - замкнутое подмножество X » найдется точечная цроизводная р , такая что Л/р(:р=