Некоторые вопросы спектральной теории операторов Шредингера и Дирака с почти-периодическими потенциалами

• Автор: Савин, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 c. : ил

ГЛАВА I. ЧИСЛО ВРАЩЕНИЙ ДЕЯ СИСТЕМЫ ДОРАКА С

ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§1. Число вращений для действительных А

§2. Матрица-функция.Трина и решения

Вейля- Титчмарша

§ 3. Число вращений для комплексных А

§ 4. Некоторые приложения к нелинейным уравнениям

ГЛАВА II. ОПЕРАТОРЫ ДИРАКА С ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИМИ

ПОТЕНЦИАЛАМИ И НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫМ СПЕКТРОМ

§1. Определение и свойства конечнозонного

потенциала оператора Дирака

§ 2. Конечнозонные потенциалы как
почти-периодические функции
§3. Аппроксимация //+1 -зонного потенциала Ы-зонным
§4. Операторы Дирака с почти-периодическими потенциалами и нигде не плотным спектром

ГЛАВА III. ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА С ПОЧТИ-ПЕРИОДЙЧЕС-КИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ И НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫМ СПЕКТРОМ
§1. Конечнозонные потенциалы оператора
Шредингера
§2. Конечнозонный потенциал оператора Шредингера как частный случай конечнозонного потенциала
оператора Дирака
§ 3. Операторы Шредингера с почти-периоди-ческими потенциалами и нигде не плотным спектром
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Настоящая работа посвящена изучению некоторых вопросов спектральной теории одномерного оператора Шредингера
I - - ё- 4- ^ сх) с -00 < х < + ос )
с почти-периодическим по Г.Бору действительным потенциалом сзс), и спектральной теории одномерного оператора Дирака
рсэс) хса)
г «ос) - ре*))
(-оо<эс<+се)
с почти-периодическшли по Г.Бору действительными коэффициентами рсас) ^ *гісас> # Комплексную функцию ІЛ <*) = с)-ір<зс) принято называть потенциалом оператора Дирака
В последнее время резко возрос интерес к оператору Шредингера с почти-периодическим потенциалом. Это было вызвано открытием связи между спектральной теорией этого оператора и теорией уравнения Кортевега - де Фриза /КдФ
а также открытием для оператора Шредингера с почти-периодическим потенциалом многочисленных физических приложений. Изучение оператора Дирака с почти-периодическим потенциалом представляет интерес не только чисто математический,но и в силу его приложений к нелинейному уравнению Шредингера /НШ / і ІІ , - - її
£ і ОС X
+ і іиги и модифицированному уравнению Кортевега
,2.,
Фриза /МРСдФ/ Ы і ~ 6 ІІІ /2 Ы + 2^.

§ I. Определение и свойства конечнозонного потенциала оператора Дирака
п.1. Определение конечнозонного потенциала.
Зададим на вещественной оси произвольно точек 3^ <£
< р і < ^ ^ы < Р Ы • Интервалы С Я4 ,/<<(),
СЪj Ні ) ••• ^ 3 будем называть лакунами, а объединение
•С ) ' “ » » /у *
остальных промежутков действительной оси - спектром и обозначать
буквой Е . Определим многочлены: ы
R.Oо = «а-»«на-лч)... ca-a*ora-/v),
Дел) = а-ЫП-£г)... О-Ы,
ЙШ e ^pZEL
^ ? сі*)О- 4* ) , Sai = п-?<)(а-?гя. a-îvj ,
где числа Ijç ^ к 3 13 4r-- } У берутся произвольно из соответствующих лакун па*, £ fc £ Г Я* , у * 3 /, знаки d^ = ±
задаются произвольно, числа ?i, 9z у » берутся
соответственно из 1 3 У -той лакуны так, чтобы
выполнялось тождество
Выбор чисел £ ^ € £ Я /с} J и знаков <3* = - -f } à- - {, У»
однозначно определяет выбор чисел €■ £Я*, У*] и знаков
/с = Y,2 У и наоборот. Действительно, так как 6? С §# ) ~ /- У А|* ) , 2,- , У, то многочлен