Матричные преобразования и вещественный метод интерполяции для операторных пространств

• Автор: Беломытцева, Елена Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 78 с.

Оглавление
Введение

I. Мультипликаторы в пространствах матриц

1.1. Вспомогательные определения

1.2. Преобразование Тф<<р

II. Вещественный метод интерполяции для пар алгебр Неймана

2.1. Вспомогательные определения

2.2. Определение пар алгебр фон Неймана

2.3. Примеры пар алгебр фон Неймана

2.4. Структурная теорема для пар алгебр Неймана

2.5. 17-функционал
2.6. Вычисление 17-функционала в паре {Цг2(#„)> •
2.7. Вычисление 17-функционала в паре {М'^щу
2.8. Вычисление /7-функционала в паре модульных гомоморфизмов {Ьв(Н{)),Ьв(Ні)}
2.9. Описание пространств {Ао,А)еф

III. Вполне непрерывные продолжения неполных треугольных матриц
3.1. Расширение блок-матрицы 2 х 2 до вполне непрерывного оператора
3.2. Случай конечных верхнетреугольных блок-матриц .
3.3. Случай бесконечных блок-матриц
3.4. Вычисление /7-функционала для пар пространств вполне непрерывных операторов {^(До)) £00(1/1)} •
IV. Общая задача продолжения неполных матриц до вполне непрерывных операторов
4.1. Вспомогательные определения
4.2. Теорема о вполне непрерывном продолжении
Введение
Изучение пространств операторов и изучение свойств треугольных матриц взаимодействуют, по-видимому, с самого начала возникновения этих понятий в теории операторов. Один из важнейших результатов, касающийся этих объектов, - это знаменитая теорема В.И. Мацаева, доказавшего, что преобразование треугольного усечения действует во всех идеалах Неймана-Шаттена вр при 1 < р < оо. Этот результат был дополнен исследованием треугольных усечений в пространствах вблизи краев шкалы Бр, что привело к введению и изучению идеалов операторов, отличных от идеалов Неймана-Шаттена, аналогов функциональных пространств Лоренца и Мар-цинкевича. Преобразование треугольного усечения является частным случаем мультипликаторов Шура, которые подробно изучались в виде трансформаторов, задаваемых двойными операторными интегралами в работах М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка (см., например обзор [14]). Содержательные результаты о подпространствах треугольных матриц в симметрично - нормированных идеалах были получены в работах Ж.Пизье (см., в частности [46]). В работах В.И. Овчинникова [31],[32],[33] было замечено, что при изучении интерполяции между пространствами операторов, действую-

Тогда в силу (2.4.1)
оо оо
11*11«, = Е 1Кб2-+' - Ег)А?н„ = Е и*»1й.,
п=—00 71=—ОО
где Ж_п = (£?2"+1 — Е%я)х — Р_ПЖ. То есть, соответствие X I—> {хп} является изометрическим изоморфизмом Но и 1,2 [Оп].
Для х е -£!( ы2нг = цл|Ь
оп-Ь1 оп+
ОО я ОО »
= ^ / ХЧ(Ёхх, х) < ^2 (2П+1)2 I (1(Ехх,х)
п=—оо 2п п——оо 2п

= 4 53 (2")2|[Ж_„|||,_ = 22||{а:„}||2г„0п|. (2.4,3)

Аналогично
1Кж"}11у2-"С„] — 1к11яг‘ (2.4.4)
Поскольку Р(<7) плотно в Яв то из (2.4.2)-(2.4.3) следует, что ж ь*
{.Х'„} является изоморфизмом 7Д и ^2[2_ГгСтг].
Лемма доказана.
Лемма 2.4.1 позволяет нам заменить оператор J на ./. имеющий Д(Т) = £>(Д) и для ж е £>(
7Ж= ^ 2~”ж„. (2.4.5)
ТТ——ОО
Легко видеть, что оператор ,7 самосопряжен и присоединен к алгебре Л.
Из (2.4.3)-(2.4.4) следует, что пространство Н, соответствующее Л, будет совпадать с эквивалентной нормой с нашим простран-