Некоторые аналоги формулы Планшереля-Ротаха для классических ортогональных многочленов

• Автор: Лариончиков, Роман Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

Содержание
Введение

1 Основная лемма

2 Формула Планшереля-Ротаха для функций Че-бышева-Эрмита

3 Аналог формулы Планшереля—Ротаха для многочленов Якоби

4 Новый аналог формулы Планшереля—Ротаха для многочленов Чебышева-Лагерра

5 Весовые оценки для многочленов Чебышева-Эр-мита и Чебышева-Лагерра

Заключение

Библиографический список использованной литературы

Введение
Пусть на интервале (а, Ь) определена весовая функция Н(х) [8]. Тогда существует система ортонормированных многочленов
В0(х), Въ(х), В2{ х),... , Вп(х),... , (1)
Т.( таких, для которых выполняются условия и
! к(х)Вп(х) Вт (х)(1х — Зит!

где дпи, — символ КронеГкера.
В теории ортогональных многочленов рассматривается случай, когда функция к(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению Пн])сона. Тогда, многочлены (1) называются классическими 1«
Одной из ключевых задач, стоящих на пересечении теории орто-гональных многочленов и теории специальных функций, является задача вычисления значения многочлена в произвольной точке на интервале ортогональности. Решение данного вопроса имеет слс-I у к )Щ1 к* [ I ри менен и я:
1) исследование различных видов сходимости [>ядов Фурье по оргогоналыIым многочленам:
<х) к _
Е а„Вп(х), где а„ = / к(х)/(х)Вп(х)(1х,х € (а, 6); (2)
п (I а
2) вычисление значений ряда (2) в произвольной точке на ин-
тервале (а, Ь)]
о) изучение асимптотики коэффициентов Фурье ап;
4) определение условий ограниченности многочленов В„(х) в отдельной точке, или на некотором множестве внутри (а,Ь), или на всем сегменте ортогональности.

Во'шикгн'Т задача об асимптотическом поведении послсдователь-поети (1) при возрастании номера п. Для исследования асимптотических свойств ортогональных многочленов применяются различные специальные методы и приемы [7].
Асимптотические свойства классических ортогональных многочленов подробно исследуются методом Лиувилля-Стеклова, который называется также методом интегро-дифференциальных уравнений. В случае, когда для ортогональных многочленов имеют место интегральные представления, применяется метод перевала. Метод Дарбу основан на производящих функциях. Наиболее универсальным является метод Г. Сеге, который применяется в самых общих случаях.
К настоящему времени с помощью этих и других методов получено много результатов по асимптотическим свойствам ортогональных многочленов. Наиболее важные результаты получили
II. Л анлас, Гейне, Меле]), Дарбу, Стилтьсс, Хильб, Г. Сеге, Фсйср, Пер])<)[[, Плаишсрель, Ротах, Ватсон. Большая часть их утверждений относится к классическим ортогональным многочленам.
В 1929-м году Плаишсрель и Ротах [17] с помощью метода перевала. получили новые асимптотические формулы для многочленов Чебышева-Эрмита. Стандартизованные многочлены Чсбышсва-Армита могут быть определены по формуле
я.(*) = (-1)"<Аег*У>, (з)
где п - степень многочлена. Плаишсрель и Ротах доказали следующее.
Теорема 1. Пусть £ и и - фиксированные положительные

Заменим эту систему системой интегральных уравнений щ (ж, Л) = I схр(2£(t, ж, A))S(t, A, Q)(ui(t, Л) + u2(t, X))dt
+00 ' "
м2 (ж, Л) — 1 — I 5(t,,Q)(u(t,X)+U2(t.,))dt.

или в операторной форме
U = U0 + ви, (1.30)
где U — (и], ио) , Uо — (0,1) и 0-интегральный оператор ,
© : Ct»([lj+oo)) х Сь([1, +С5о)) —ъ Сй([1,+оо)) х Сь([1, +оо)).
Так как С),([1,+оо)) х +оо)) - банахово пространство
вектор-функций U(ж) = (и(х),и2(х)) с нормой
и выполнено условие
цен < 1,
получаемое аналогично лемме 1.1 из условия (1.27), применяем к системе (1.30) принцип сжимающих отображений. Проводя тс же рассуждения что и при доказательстве леммы 1.1, с небольшими изменениями ( вместо Р и 7] следует поставить Р2 и 72), получим требуемые неравенства (1.28) и (1.29). □